3.2. Моделирование. Математические методы при проведении теоретических исследований

Моделирование — метод исследования сложных агрегатов или процессов на мо­делях. Моделирование как прием научного познания исследуемого объекта применяется в тех случаях, когда непосредственное изучение объекта (оригинала) является затруднительным или невозможным. Модели­рование позволяет по результатам исследования мо­дели судить о явлениях, происходящих в оригинале, в натурных условиях.

К модели, как инструменту научного познания ис­следуемого объекта, предъявляются следующие требо­вания:

- модель должна полностью соответ­ствовать моделируемому объекту;

- обладать свойством эволюционности;

- удовлетворять по степени сложности и абстрактности требованиям практической полезности модели;

- предусматривать возможность проведения чис­ленных решений с применением вычислительной тех­ники;

- допускать опытную проверку соответствия модели исследуемому объекту.

Различают детерминированное и вероятностное моделирование изучаемых объектов. Детерминированные модели – такие модели, для которых информация об их состоянии и поведении на некотором отрезке времени позволяет однозначно описать ее поведение на экстраполируемом интервале времени. Вероятностные модели – такие модели, для которых информация об их состоянии и поведении на некотором отрезке времени не позволяет однозначно описать их поведение в экстраполируемом отрезке времени.

К детерминированным моделям относятся:

- нагляд­ные модели (гипотезы, схемы и др.);

- знаковые (хими­ческие, топологические и графовые);

- математические модели (схемы замещения, экономико-математические модели, программы ЭВМ).

К вероятностным моделям относятся:

- натурные (обобщение натурных данных, производственный экспе­римент, обобщение производственного опыта);

- физиче­ские (действующие модели приборов, тренажеры и др.);

- математические модели (аналоговые, структурные и цифровые модели, функциональные, кибернетические модели).

Математические модели и их элементы. Математи­ческая модель представляет собой формальное описание основных закономерностей исследуемой системы (техни­ческого устройства, технологического процесса и т. д.) в виде математических уравнений и неравенств, позво­ляющее судить о поведении изучаемой системы в натур­ных условиях.

Решение каждой задачи при математическом моде­лировании подразделяется на два самостоятельных этапа. На первом этапе производится построение мате­матической модели изучаемой системы. Второй этап включает исследование модели и получение необходи­мой информации.

Математическое моделирование исследуемых систем можно разделить на два основных направления.

Математическое моделирование систем на основе принципа оптимизации, предполагающее возможность и необходимость целенаправленного регулирования. В этом случае математические модели оптимизации являются инструментом для решения задач по опреде­лению оптимальных решений с применением методов математического программирования (дифференциаль­ного и вариационного исчисления, линейного, нелиней­ного, динамического программирования и других мето­дов программирования).

Математическое моделирование систем на основе принципа имитации, позволяющее выявить закономер­ности динамики функционирования, влияние каждого отдельного фактора до количественной определенности, установить недостатки, преимущества, резервы и пути повышения эффективности, и на этой основе скоррек­тировать прогноз развития изучаемых систем.

По структуре математические модели оптимизации включают следующие элементы.

Переменные — величины, оптимальные значения которых необходимо найти в процессе решения модели.

Параметры — постоянные величины, которые в про­цессе всего решения остаются неизменными и в модели, как правило, представлены коэффициентами при пере­менных или свободными членами в уравнениях и не­равенствах.

Критерий оптимальности — принятый показатель меры эффективности исследуемой системы, величина которого при экстремальном значении целевой функции (максимальном или минимальном) определяет опти­мальное решение для заданных условий, т. е. оптималь­ные значения переменных в модели.

Ограничения — области возможных значений пере­менных (оптимизируемых) величин в заданных кон­кретных условиях изучаемой системы, внутри которых отыскивается оптимальное решение. В зависимости от использования тех или иных математических методов для определения оптимальных решений, ограничения могут упрощать или усложнять решение задачи.

Общие принципы построения математических моде­лей. Моделирование объектов осуществляется на основе системного подхода. Системный подход позво­ляет рассматривать систему как целостную совокуп­ность взаимосвязанных элементов, объединенных для достижения единой цели, выявить свойства системы, ее внутренние и внешние связи.

Для системного анализа важное значение имеют понятия внутренних и внешних связей.

Внутренние связи — это связи между переменными (элементами системы). Такие связи исследуются мето­дами теории вероятностей и математической ста­тистики.

Внешние связи — это связи между системой и внеш­ней средой. Под внешней средой понимается комплекс всех объектов, которые влияют на изменение системы, а также объектов, которые изменяются в результате изменения системы. Между системой и внешней средой имеется тесная взаимосвязь и взаимозависимость. Воздействия, которые испытывает система со стороны внешней среды, принято называть входными, а воздей­ствия системы на внешнюю среду — выходными.

Этапы математического моделирования. Основными этапами математического моделирования исследуемой системы являются: постановка задачи, построение мате­матической модели и исследование изучаемой системы на модели.

Главным на этапе постановки задачи является чет­кое определение и формулировка цели исследования.

Построение математической модели можно подраз­делить на стадии содержательного описания исследуе­мой системы, составления формализованной схемы и не­посредственной разработки математической модели.

Содержательное описание — это анализ исследуемой системы, включающий качественную и количественную характеристики происходящих в ней явлений, характер и степень взаимосвязи между ними и учет важности каждого явления в общем процессе функционирования изучаемой системы. Содержательное описание состав­ляется на основе детального изучения системы и служит основой формализованной схемы и математической модели.

Составление формализованной схемы практикуется обычно тогда, когда непосредственный переход от со­держательного описания к разработке математической модели является затруднительным или даже невозмож­ным. На этой стадии окончательно устанавливается система параметров и факторов, необходимых для целей исследования зависимости между ними, и дается точная математическая формулировка задачи исследо­вания системы.

Непосредственная разработка математической мо­дели является завершающей стадией построения модели. Построение самой математической модели заключается в преобразовании формального описания закономерностей и логических условий исследуемой системы (таблиц, графиков и т. п.) в описание в виде математических уравнений и неравенств, представляю­щих собой запись целевой функции и соответствующих ограничений в аналитической форме.

Для разработки модели физического процесса необходимо определить:

- область или границы ее применения (по времени, про­странству и другим физическим характеристикам);

- степень (глубину) детализации;

- физические ограничения;

- требуемую точность результатов;

- константы и переменные, определяющие состояния про­цесса;

- управляемые переменные;

- неуправляемые переменные (воздействия, возмущения);

- параметры, характеризующие объект.

Модель должна адекватно, т. е. по возможности точно, отражать действительность. Адекватность нужна не вообще, а в рассматриваемом диапазоне. Адекватность модели — это ее соответствие тому реально­му физическому процессу (или объекту), который она пред­ставляет.

Расхождения между результатами анализа модели и ре­альным поведением объекта неизбежны, так как модель — это отражение, а не сам объект.

Исследование изучаемой системы на модели можно подразделить на следующие стадии:

- математический анализ модели;

- отбор и оценка исходной информации;

- численное решение;

- анализ решения;

- выработка реко­мендаций.

Математический анализ модели проводится с целью выявления качественных свойств модели (оценка воз­можности существования решений в плане цели иссле­дования, изучение зависимостей переменных от исход­ных условий и тенденций их изменения) и выбора математического метода численного решения задачи.

Численное решение включает разработку алгорит­мов, составление программ на ЭВМ и расчеты.

Анализ решения и выработка рекомендаций — за­ключительная стадия математического моделирования.

Математические модели линейного программиро­вания. При постановке задачи линейного программиро­вания математическая модель оптимизации может быть построена и решена при выполнении следующих основных условий:

- наличие единого четко сформулированного критерия оптимальности, который может быть количественно измерен;

- обоснованность принятых ограничений на перемен­ные и числовых характеристик параметров, входящих в систему ограничений;

- взаимозаменяемость переменных и многовариант­ность их использования, обусловливающие возможность выбора оптимального решения;

- уравнения и неравенства должны быть линейными, т. е. в целевую функцию и ограничения должны входить переменные только в первой степени.

Кроме того, особое внимание должно быть обращено на учет существенных факторов и исключение второсте­пенных, что обусловливает правильность построения модели и достоверность решений.

Решение модели включает выбор соответствующего метода линейного программирования (симплексный метод, распределительный метод и др.); разработку алгоритма решения; составление программы для ЭВМ и решение задачи на ЭВМ.

Анализ результатов решения предусматривает улуч­шение полученного решения изменением исходных дан­ных, а также варьированием ограничениями задачи и критерием оптимальности, выработку окончательных рекомендаций по функционированию или составу изу­чаемой системы.

Математические модели динамического программи­рования. При исследовании систем методами динами­ческого программирования их структура должна отве­чать следующим основным требованиям:

- характеризоваться продолжительностью планового периода, т. е. его развитием во времени;

- допускать возможность исследования оптимальной стратегии по совокупности выбора оптимальных реше­ний на отдельных этапах (шагах) ее развития;

- позволять выбор оптимального решения на каждом шаге на основе собственной оптимальной стратегии без учета значений управляемых переменных на предыду­щем шаге;

- иметь критерий оптимальности системы, обладаю­щей свойством аддитивности, что позволит оценивать оптимальность решения на каждом этапе в терминах единого критерия системы;

- содержать ограниченное число переменных.

Несмотря на наличие общих принципов постановки и решения задач динамического программирования, построение математических моделей, описываемых рекуррентным соотношением, представляет определен­ную сложность, особенно при решении задач с многими ограничениями и большим числом переменных.

Построение математико-статистических моделей с применением методов теории корреляции. Исследова­ние вероятностных систем с применением математиче­ского аппарата теории корреляции включает следующие вопросы:

- постановку задачи;

- оценку задачи и представительности исходной ин­формации;

- качественную оценку факторов-аргументов, т. е. обоснованность перечня показателей-факторов, влияю­щих на основной показатель системы;

- обоснование вида функции корреляционной зависи­мости;

- построение конкретной корреляционной модели ис­следуемой системы;

- статистический анализ корреляционного уравнения;

- исследование закономерностей изучаемой системы на модели;

- разработку рекомендаций для изучаемой системы.

Надежность и представительность исходных данных не должны вызывать сомнений. В ряде случаев причина неудачного решения задач заключается, как правило, в том, что полученные результаты не отвечают на по­ставленный вопрос.

Выбор перечня показателей-факторов при построе­нии многофакторных корреляционных моделей связан с определенными трудностями. Стремление учесть в модели как можно больше факторов, зачастую себя не оправдывает. Модель получается сложной, что ведет к увеличению трудоемкости и длительности расчетов, и в результате страдает качество исследования изучае­мой системы на модели.

Обоснование вида функции корреляционной зависи­мости, как правило, начинается на стадии постановки задачи исследуемой системы. Первоначальная гипотеза о виде функции основывается на теоретических пред­ставлениях о физической сущности изучаемой законо­мерности и анализе графиков и диаграмм, построенных по данным фактических наблюдений. После качествен­ной оценки факторов-аргументов первоначальные пред­ставления о математическом виде функций корректи­руются. В случае отсутствия однозначного решения о виде функции аппроксимирование изучаемой зависи­мости осуществляется построением нескольких подхо­дящих функций, наилучшая из которых принимается в качестве основной.

Указанные выше недостатки могут быть преодолены использованием для статистического анализа методов активного планирования эксперимента и глубокого дис­персионного анализа. Особенно эффективны методы активного планирования эксперимента, которые позволяют:

- определять необходимое количество опытов;

- получать количественные и качественные оценки факторов-аргументов необходимой точности при мини­мальном количестве данных наблюдений;

- устанавливать корреляционные зависимости при зна­чительно меньших ошибках.

Методы математического программирования подраз­деляются на аналитические и численные. К аналитиче­ским методам относятся дифференциальное и вариационное исчисления, принцип максимума и др. Численные методы математического программирования включают методы линейного, нелинейного и динамического программирования, методы регулярного и случайного поиска, стохастическое программирование и др.

Использование тех или иных методов математиче­ского программирования при решении каждой конкретной задачи зависит от вида и характера целевой функции, числа переменных, наличия и вида ограничений и других элементов математической модели.

Методы дифференциального исчисления. Для ис­пользования этих методов необходимо, чтобы модель была выражена функцией в форме аналитической зависимости, которая дифференцируется по всем переменным, а задача не должна иметь ограничений.

Линейное программирование объединяет теорию и практику решения задач, в которых необходимо найти набор переменных величин, удовлетворяющих заданным линейным ограничениям и максимизирующих (или минимизирующих) некоторую линейную функцию этих переменных. При этом, чем больше линейных ограни­чений, тем эффективнее применение методов линейного программирования.

Нелинейное программирование. Задачи оптимизации с нелинейными целевыми функ­циями могут быть решены методами выпуклого про­граммирования. Однако при этом необходимо, чтобы допустимые значения переменных х_i образовывали выпуклую область, и целевая функция на максимум была вогнутой, а на минимум — выпуклой.

Задачи оптимизации с нелинейной функцией и линей­ными ограничениями могут быть решены методом нелинейных ветвлений и методом квадратичного про­граммирования.

Для решения задач нелинейного программирования используют также градиентные методы и метод кусоч­но-линейной аппроксимации, которые относятся к при­ближенным методам.

Градиентные методы, применяющиеся для решения задач нелинейного программирования, позволяют полу­чить оптимальное решение на основе последовательных приближений, которые, как правило, приводят не к гло­бальному, а к локальному экстремуму. Наиболее эффек­тивно их использование при решении задач выпуклого программирования, в которых локальный экстремум является одновременно и глобальным.

В основе метода кусочно-линейной аппроксимации лежит выражение заданной функции кусочно-линейной функцией, в результате чего нелинейная задача приближенно сво­дится к линейной.

Динамическое программирование. В основе концеп­ции динамического программирования лежит общий принцип, названный Р. Беллманом принципом опти­мальности, сущность которого заключается в следую­щем. Принятие решений по развитию изучаемой систе­мы разбивается на ряд последовательных шагов, на каждом из которых решается оптимизационная задача.

Динамическое программирование позволяет исследо­вать широкий круг часто встречающихся динамических задач, в которых оптимальное решение определяется многошаговым процессом принятия решений, обеспечи­вающих оптимальность изучаемой системы в целом.

Построение и решение математических моделей динамического программирования должно базироваться на следующих условиях:

- поведение системы рассматривается во времени;

- управляемый процесс марковский, т. е. предысто­рия не влияет на определение будущих действий. Единственной информацией, необходимой для выбора оптимального значения переменных на рассматривае­мом шаге, является состояние системы в этот момент времени;

- состояние системы в каждый рассматриваемый момент времени однозначно характеризуется опреде­ленными числовыми значениями соответствующих пара­метров;

- переменные и ограничения формируются по от­дельным шагам;

- выбор оптимального решения на каждом шаге заключается в преобразовании числовых значений пара­метров состояния системы на начало шага в другие числовые значения. Следовательно, результат решения на предыдущем шаге оказывает прогнозируемое влия­ние на состояние системы, которое она примет на по­следующем шаге;

- модель должна содержать возможно меньшее число переменных;

- оптимальность решения на каждом шаге оцени­вается в терминах единого критерия эффективности системы.

Динамическое программирование, в отличие от линейного программирования, может быть применено к самым различным математическим моделям.

Метод динамического программирования использу­ется для решения не только динамических задач, но и широкого класса задач, в которых связи между пере­менными и критерии оптимальности могут быть заданы уравнениями произвольного вида или в виде графиков и таблиц, полученных на основе статистических данных или результатов экспериментов.

Корреляционный анализ используется для исследо­вания связи между двумя или несколькими случайными величинами. При этом связь между величинами у и х₁ , х₂, … х_n описывается в виде многомерного распределе­ния.

Регрессионный анализ исследует такие связи между величинами, в которых величина у является случайной переменной величиной, зависящей от одной или несколь­ких независимых переменных величин х₁ , х₂, … х_n. Здесь эти переменные не являются случайными величи­нами и принимают в каждом новом опыте вполне опре­деленные значения.

Корреляционная зависимость между элементами си­стемы имеет место, если изменение фактора у зависит от изменения одного или нескольких факторов x_i (а также влияния некоторых неучтенных факторов) или изменение фактора у и одного или нескольких факто­ров x_i обусловлено влиянием некоторых неучтенных факторов одновременно на у и x_i.

Корреляционная связь может быть линейного и не­линейного видов. В общем виде связь между у и x₁, x₂, … x_n может быть выражена уравнением y = f(x₁, x₂, … х_n), которое называется корреляционным уравне­нием или уравнением регрессии.

О форме и силе связи между переменными величинами можно судить по коэффициенту корреляции выборочной совокупности. Коэффициент корреляции характеризует корреляци­онную связь между зависимой переменной у и незави­симыми переменными x уравнения регрессии.

Для оп­ределения параметров (постоянных коэффициентов) корреляционного уравнения (уравнения регрессии) используется метод наименьших квадратов. Это метод нахождения постоянных коэффициентов уравне­ния регрессии y = f(x₁, x₂, … х_n), из условия минимума суммы квадратов отклонений фактических значений у_i от y'_i , рассчитанных по уравнению регрессии.

Методы теории массового обслуживания. Основными понятиями теории массового обслужива­ния являются: требование, источники требования, обслу­живание, обслуживаемые и обслуживающие аппараты, поток требований, время обслуживания.

Требованием или заявкой называется запрос на вы­полнение какого-то вида перевозок.

Обслуживаемая система, как правило, состоит из n-го числа обслуживаемых аппаратов (устройств), каж­дый из которых является источником требований. В от­дельных случаях обслуживаемая система рассматривается как единое целое и требования поступают от системы в це­лом.

Обслуживание — удовлетворение требования, посту­пившего в обслуживающую систему.

Когда обслуживаемая и обслуживающая система под­разделяются на отдельные части, возникают понятия: обслуживаемые и обслуживающие аппараты.

Последовательность требований на обслуживание называется потоком требований. При этом различают входящий и выходящий потоки требований.

Временем обслуживания считается время удовлетво­рения требования на обслуживание с момента поступле­ния заявки в обслуживающую систему, т. е. в общем случае время на обслуживание складывается из време­ни ожидания поступившей заявки и времени ее обслу­живания.

Простейший поток требований обладает свойства­ми стационарности, ординарности и отсутствия послед­ствия. Свойство стационарности говорит о том, что по­ток требований во времени остается постоянным, орди­нарности — требования в обслуживающую систему в любой момент времени поступают по одному. Потоком без последствия называется такой поток, в котором чис­ло требований, поступающих в любой момент времени, не зависит от предыстории.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. В чём заключается использование метода мозговой атаки?

2. В чём заключается использование метода экспертных оценок Дельфи?

3. В чём заключается использование метода морфологического анализа?

4. В чём заключается использование метода математического моделирования?

5. Какие элементы определяют структуру математической модели?

6. Каковы общие принципы построения математических моделей?

7. Каковы особенности использования метода дифференциальных исчислений?

8. Каковы особенности использования метода линейного программирования?

9. Каковы особенности использования метода нелинейного программирования?

10. Каковы особенности использования метода динамического программирования?

11. Каковы особенности использования метода корреляционного анализа?

12. Каковы особенности использования методов теории массового обслуживания?