4.1.2. Методические указания к выполнению контрольной работы

Расчет параметров распределения ресурсов детали включает следующие этапы.

Группировка эмпирических данных

1. Выявить наибольшее l_max и l_min значения ресурсов и определить ширину интервалов группирования по формуле

l = (l_max - l_min) / (1+3,2 lg N) ,

где N - общее число наблюдений (объем выборки). Полученное значение l следует округлить до целого числа в меньшую сторону.

2. Подсчитать частоты n_i попадания случайной величины ресурса l (см. табл. 2) в интервале группирования. Подсчет частот удобнее вести с помощью табл. 3, в которой l_н и l_к - начальное и конечное значения случайной величины, которые выбираются близкими к целочисленному минимальному и максимальному значениям ресурса l, т.е. l_н  l_min и l_к  l_max .

Таблица 4

Схема подсчета частот попаданий случайной величины в интервалы группирования

Номер интервала	Границы интервала li; li+1	Середина интервала li	Частоты попадания в интервал ni
1	lн ; lн + l	lн + l/2	n1
2	lн + l ; lн + 2l	lн + 3/2l	n2
. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .
r	lк - l ; lк	lк - l/2	nr

Определение параметров и характеристик нормального закона распределения

Плотность вероятности f(l) нормального закона имеет следующий вид

___

f(l) = 1 / (_ 2) еxp [- (l_i -a)² / 2_²] ,

где а и  - параметры нормального закона распределения;

ехр (z) - форма представления числа е в степени z: exp (z) = e^z.

Следует отметить, что при обработке статистических данных получают оценки рассчитываемых параметров, а не действительные (истинные) их значения, поскольку статистические данные, как правило, представляют собой результаты измерений какой-либо величины по ограниченному числу объектов, а не по всей их совокупности. При бесконечном же увеличении числа измеряемых объектов оценки рассчитываемых параметров приближаются к их истинным значениям.

1. Вычисляется математическое ожидание по формуле

_r

а = 1/N l_i  n_i ,

ⁱ⁼¹

где r - количество интервалов.

2. Рассчитывается среднеквадратическое отклонение

_______ _r _________

 =  1/ (N-1)  (l_i -a)² n_i .

ⁱ⁼¹

3. Вычисляются значения эмпирической плотности распределения вероятностей по интервалам ресурсов

f_э(l_i ) = n_i / (N l) .

4. Рассчитываются нормированные и центрированные отклонения середин интервалов

y_i = (l_i -a) /  .

5. Определяются значения теоретической плотности распределения вероятностей

f_т(l_i ) = (1 / )  f₀(y_i) ,

__

где f₀( y_i ) = (1 / 2 ) exp ( - y_i² / 2).

Результаты расчетов по пп. 3, 4 и 5 рекомендуется сводить в таблицу 4.

Проверка согласная между эмпирическим и теоретическим (нормальным законом) распределения по критерию ² Пирсона

1. Определяется мера расхождения ² между эмпирическим и теоретическим распределениями

_r

² =  (n_i - n_i)² / n_i ,

ⁱ⁼¹

где n_i и n_i - соответственно эмпирическая и теоретическая частоты попадания

случайной величины в i-й интервал.

Для удобства вычислений критерий ² Пирсона можно определить по формуле _r

² = N  l   [f_э (l_i) - f_т (l_i)]² / f_т (l_i) .

ⁱ⁼¹

2. Вычисляется число степеней свободы к (при этом интервалы, в которых частоты n_i меньше 5, нужно объединить с соседними интервалами)

к = r₁ - m - 1 ,

где r₁ - число интервалов, полученное после объединения;

m - количество параметров закона распределения.

Нормальный закон является двухпараметрическим и определяется математическим ожиданием а и среднеквадратичным отклонением , т.е. m=2.

3. По значениям ² и к с помощью таблиц, приведенных в литературе, определить вероятность согласия Р (² , к) теоретического и эмпирического распределения. Если Р (² , к) > 0,05 , то эмпирическое распределение согласуется с нормальным законом, а некоторые расхождения являются случайными; при Р (² , к) < 0,05 расхождения между указанными распределениями будут неслучайными, выбранный теоретический закон распределения отвергается и подбирается другой.

Определение оценок показателей надежности детали

1. Рассчитывается значение среднего ресурса R , которое при нормальном законе распределения численно равно значению математического ожидания а .

2. Рассчитывается вероятность безотказной работы делали по интервалам наработки по формуле

_r

P(l_i) = (N -  n_i) / N .

ⁱ⁼¹

Построение характеристик распределения ресурса и вероятности безотказной работы детали

По результатам расчетов необходимо изобразить гистограмму, эмпирическую и теоретическую кривые распределения плотностей вероятностей f_э (l_i) и f_т (l_i) , построить кривую вероятности безотказной работы детали Р(l_i) в зависимости от ее наработки l.