2. Основные теоретические положения

Планирование эксперимента относится к активному эксперименту, предусматривающему принудительное из­менение исследуемых факторов в требуемых пределах. Активный эксперимент – заключается в том, что уровни факторов (координаты опытных точек) назначаются исследователем на основе заранее разработанного алгоритма. Это позволяет произвести кодирование уровней факторов. При этом значительно повышается точность получаемых математических моделей, сокращает число проводимых испытаний.

При планировании опыты ставятся по заранее состав­ленной схеме (матрице планирования), обладающей оптимальными свойствами. Все факторы при этом варьируются одновременно. Неизвестные или невключенные в исследование факторы рассматриваются как случайные величины. Такой подход уменьшает ошибки параметров, инте­ресующих исследователя. В результате, это позволяет при значительном сокращении числа испытаний получить математическую модель исследуемого явления.

Теория планирования эксперимента оперирует опре­деленными понятиями.

Функция y = f(x₁, x₂, … х_k), характеризующая любой исследуемый процесс, называется функцией отклика.

Независимые переменные х₁, х₂, … х_к — аргументы функции отклика — называются факторами.

Число точек плана при ортогональном планировании определяется по формуле

N = Kⁿ,

где K – число уровней для каждого из факторов;

n – число факторов.

В случае большого числа факторов функция отклика рассматривается как геометрический образ в многофак­торном пространстве — поверхность функции отклика.

При планировании эксперимента пользуются моде­лями, представляющими полиномы 1-й, 2-й степеней и выше. Применение таких моделей очень удобно для решения экстремальных задач.

Интервал варьирования факторов — диапазоны зна­чений, принимаемых каждым фактором.

Уровни варьирования — значения каждого фактора при опытах.

В теории планирования эксперимента широко ис­пользуется понятие матриц планирования эксперимента, т. е. таблиц, в которых записаны кодированные значе­ния факторов.

Множество точек x_i , в которых производятся наблюдения, и соответствующее число наблюдений в этих точках называют планом эксперимента.

План называют симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней. План называют равномерным, если уровни любого фактора встречаются в плане одинаковое для данного фактора число раз.

Матрица планирования называется орто­гональной, если сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю.

Ротатабельность — свойство точек матрицы планиро­вания, подобранных так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

При планировании эксперимента значения уровней факторов записываются в таблицу в условных, т. е. в кодированных значениях.

Кодирование преобразует независимые переменные к безразмерным величинам. Это позволяет построить ортогональную матрицу планирования с одинаковыми расстояниями уровней факторов от центра планирования.

При планировании эксперимента стоит задача определения коэффициентов математической модели. Коэффициенты полиномиальной модели подбираются на основе использования метода наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений функции отклика, получаемых с помощью теоретического уравнения, от опытных значений функции отклика должна быть минимальной.