3.2. Аппроксимация опытной линии регрессии параболической функцией

В этом случае опытная линия регрессии может быть аппроксимирована с помощью параболы второго порядка y = ax² + bx + c.

1. На основе данных табл. 1 строится опытная линия регрессии. Рассматривая опытную линию регрессии, делается заключение о виде функции, её аппроксимирующую (парабола второго порядка).

2. Вычисляется общее среднее арифметическое число отказов

n n

M (y) = (∑ y_i n_yi )/ (∑n_yi ),

i=1 i=1

Вычисляется общее среднее арифметическое значение пробега

n n

M (x) = (∑ x_i n_xi )/ (∑n_xi ),

i=1 i=1

3. Составляются нормальные уравнения методом наименьших квадратов. Поскольку замеры случайной величины x_i повторяются n_xi раз, нормальные уравнения записываются в виде

n n n n

a ∑ x_i⁴ n_xi + b ∑ x_i³ n_xi + c ∑ x_i² n_xi = ∑ x_i² y_xi n_xi ;

i=1 i=1 i=1 i=1

n n n n

a ∑ x_i³ n_xi + b ∑ x_i² n_xi + c ∑ x_i n_xi = ∑ x_i y_xi n_xi ;

i=1 i=1 i=1 i=1

n n n n

a ∑x_i² n_xi + b ∑x_i n_xi + c ∑ n_xi = ∑ y_xi n_xi .

i=1 i=1 i=1 i=1

Решая систему нормальных уравнений, определяются значения коэффициентов регрессии, что позволяет написать выборочное уравнение регрессии. Решить систему трёх уравнений с тремя неизвестными можно используя метод Крамера, методом Гауса, матричным методом

Полученное уравнение представляет собой математическую модель рассматриваемого явления.

4. Используя полученное уравнение регрессии, наносится теоретическая линия регрессии на график по точкам заданного пробега.

5. Для определения силы или тесноты корреляционной зависимости y от x вычисляется корреляционное отношение

____________________ ____________________

η _yx = ( √ ∑ ( y_j - y _xj)² n_xj / (n_xj – 1) ) / (√ ∑ ( y_j - y _xj)² n_yj / (n_yj – 1) ).

Принято считать, если η _yx > 0,85 – 0,9 , то зависимость сильная, если η _yx ≤ 0,5 – 0,6, то зависимость слабая.

6. Применяя метод экстраполяций, находится детерминированная составляющая прогнозирования y₂₀ при пробеге 20 тыс. км. Если общее число отказов n, то на пробеге 20 тыс. км процент отказов будет составлять

P = y₂₀ / n.

Практическое занятие 2 Построение плана эксперимента

1. Задание на практическое занятие

В лабораторных условиях исследуется процесс в зависимости от двух факторов y = f (ξ, η ). Требуется составить матрицу планирования, провести испытания и получить математическую модель явления. На основании априорных сведений исследователь принял решение описывать рассматриваемое явление с помощью линейной модели на двух уровнях и применил ортогональное планирование. Модель имеет вид

y = B₀ x₀ + B₁ x₁ + B₂ x₂ .

Исследователь проводил по три параллельных опыта в каждой точке матрицы планирования.

Результаты испытаний представлены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты испытаний для получения математической модели явления

№ опыта	Уровни факторов в натуральных значениях (в условных единицах)	Значение функции отклика yi (в условных единицах)
		Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	ξ = 6, 6, 6 η = 3, 3, 3	3, 4, 5	2, 3, 4	4, 5, 6	3, 5, 7	7, 9, 11	5, 10, 15	2, 3, 4	6, 9, 12	8, 12, 16	7, 10, 13
2	ξ = 12, 12, 12 η = 3, 3, 3	7, 10, 13	7, 9, 11	8, 12, 16	6, 9, 12	7, 10, 13	5, 7, 9	6, 9, 12	25, 30, 35	7, 10, 13	25, 30, 35
3	ξ = 6, 6, 6 η = 9, 9, 9	19, 25, 31	19, 23, 27	20, 26, 32	18, 20, 22	25, 30, 35	23, 27, 31	25, 30, 35	30, 33, 36	25, 30, 35	18, 20, 22
4	ξ = 12, 12, 12 η = 9, 9, 9	33, 36, 39	33, 38, 43	35, 39, 43	30, 33, 36	40, 43, 46	34, 38, 42	33, 36, 39	23, 27, 31	23, 27, 31	33, 38, 43