3.1. Аппроксимация опытной линии регрессии линейной функцией

В этом случае опытная линия регрессии может быть аппроксимирована с помощью прямой линии y = ax + b.

1. На основе данных табл. 1 строится опытная линия регрессии. Рассматривая опытную линию регрессии, делается заключение о виде функции, её аппроксимирующую (прямая линия).

2. Вычисляется общее среднее арифметическое число отказов

n n

M (y) = (∑ y_i n_yi )/ (∑n_yi ),

i=1 i=1

n_yi – суммарная частота повторяемости отказов при заданном значении

пробега.

Вычисляется общее среднее арифметическое значение пробега

n n

M (x) = (∑ x_i n_xi )/ (∑n_xi ),

i=1 i=1

где x_i - заданное значение пробега;

n_xi - число частоты отказов при заданном значении пробега.

3. Находятся общие несмещённые дисперсии по каждому из признаков

n n

D (y) = n/(n-1) [ (∑ y_i ² n_yi )/ (∑n_yi ) – M² (y)],

i=1 i=1

n n

D (x) = n/(n-1) [ (∑ x_i ² n_xi )/ (∑n_xi ) – M² (x)].

i=1 i=1

4. Находятся общие несмещённые оценки для средних квадратических отклонений по каждому из признаков

___________ __________

σ (y) = √ D (y) ; σ (x) = √ D (x) .

5. Находится несмещенный момент связи рассматриваемых двух признаков

n n

η _yx = n/(n-1) [ (∑ y_j x_i n _{xi yj} )/ (∑n _{xi yj} ) – M (y) M (x)].

i=j=1 i=j=1

6. Находится коэффициент корреляции

U _yx = η _yx / ( δ (y) δ (x) ).

Принято считать, что если коэффициент корреляции больше 0,85-0,9, то зависимость сильная; если меньше 0,5-0,6, то зависимость слабая.

7. Находятся коэффициенты регрессии и на основе этого записывается выборочное уравнение регрессии

a = η _yx / D (x); b = M (y) - M (y) η _yx / D (x);

Уравнение регрессии будет иметь вид

у = a + b x.

Полученное выборочное уравнение регрессии представляет собой математическую модель рассматриваемого явления. Оно было получено на основе обработки выборки заданного объёма.

8. Используя полученное уравнение регрессии, наносится теоретическая линия регрессии на график по точкам заданного пробега.

9. Применяя метод экстраполяций, находится детерминированная составляющая прогнозирования y₂₀ при пробеге 20 тыс. км. Если общее число отказов n, то на пробеге 20 тыс. км процент отказов будет составлять

P = y₂₀ / n.

10. Для того чтобы получить стохастическую составляющую экстраполяционного прогнозирования при доверительной вероятности, равной 90 % (получить оптимистическую пессимистическую составляющие), вычисляются исправленные средние квадратические отклонения по каждой группе и находятся их средние арифметические

среднее арифметическое

n

y _xj = ∑ y_ji n_{j yi} / n_xj ,

i=j=1

исправленное среднее квадратическое отклонение

_____________________

σ (y) _xj = √ ∑ ( y_j - y _xj)² n_yj / (n_yj – 1) .

Определяется среднее квадратическое отклонение по всем группам

σ {y}_ср. При этом среднее квадратическое отклонение среднего результата, т. е. ошибка прогноза для пробега 20 тыс. км составит

__

σ _M(y) = δ {y}_ср / √ n .

Половина величины доверительного интервала (точность) при достоверности, равной 90 % составляет

σ = σ _M(y) arg Ф( P_д = 90 %).

11. Используя полученное уравнение регрессии и границы доверительного интервала при достоверности, равной 90 %, наносятся оптимистическая и пессимистическая составляющие теоретической линии регрессии на график по точкам заданного пробега.