2. Основные теоретические положения

Различают детерминированные и стохастические зависимости. Стохастические зависимости описываются с помощью математических моделей.

Математической моделью явления (процесса) называется уравнение регрессии, связывающее зависимую переменную (функцию) y с исследуемыми независимыми факториальными признаками (факторы) x₁, х₂,…, х_i. Основным требованием, предъявляемым к математической модели, является адекватность рассматриваемому явлению и её простота.

Анализ стохастических зависимостей и получение математических моделей явлений производится с помощью основных положений регрессионно-корреляционного анализа. Основной задачей регрессионного анализа является установление вида зависимости функции

y = φ (x₁, х₂,…, х_i).

Указанное уравнение называется уравнением регрессии.

Основная цель корреляционного анализа – определение силы или тесноты зависимости функции от факторов.

Регрессионно-корреляционный анализ позволяет прогнозировать развитие рассматриваемого явления и, следовательно, решить задачу по оптимизации процесса.

В случае, когда для каждого значения х найдутся средние арифметические значения y (в результате проведения эксперимента или при проведении теоретических исследований) и если на графике соединить эти точки, то будет получена ломаная линия. Ломаная линия называется опытной линией регрессии. Полученная ломаная линия является следствием ошибок замера, дискретности графика, недостаточного количества замеров. По мере увеличения числа замеров ломаная линия асимптоматически приближается к какой-то плавной кривой. Поскольку объём выборки всегда ограничен, поэтому возникает задача аппроксимации опытной линии регрессии какой-либо теоретической функцией. Функция, аппроксимирующая опытную ломаную линию, называется теоретической линией регрессии. При парной зависимости опытная линия регрессии может быть аппроксимировании с помощью следующих функций:

- прямой линией y = ax + b;

- параболой второго порядка y = ax² + bx + c;

- гиперболой y = (ax + b) / x;

- логарифмической функцией y = a lg x + b;

- степенной функцией у = axⁿ;

- показательной функцией y = ab^x и т. д.

Для двухфакторной регрессионной зависимости опытное корреляционное поле может аппроксимироваться следующими функциями:

- плоскостью z = ax +by + c;

- параболоидом второго порядка z = ax² + by² + cx + dy + e и т. д.

В общем случае для n-мерного пространства и n-переменных уравнение регрессии второго порядка выглядит следующим образом:

n n n

Y = B₀ + ∑ B_i x_i + ∑ B_ij x_ix_j + ∑ B_ii x_i² + … ,

i=1 i<j i=1

где Y – функция многих переменных;

x_i – аргументы или факторы, оказывающие влияние на функцию;

B_i – частные коэффициенты регрессии, показывающие влияние данного

аргумента (фактора) x_i на функцию;

B_ij – коэффициенты, характеризующие двойное воздействие аргументов x_i

x_j на функцию.

3. Методические указания по построению уравнения регрессии по результатам пассивного эксперимента