4.2. Основы планирования эксперимента

Ортогональное планирование первого порядка (линейная модель). Ортогональным планированием называется такое планирование, при котором уровни факторов выбираются симметрично относительно центра плана и для каждого опыта производится варьирование уровнями факторов. Модель имеет вид

Y = B₀ x₀ + B₁ x₁ + B₂ x₂ .

Число точек матрицы планирования составляет

N = Kⁿ.

Для представленной линейной двухфакторной модели число точек матрицы планирования составляет 2² = 4.

Проверка однородности дисперсии эксперимента. При проведении инженерных наблюдений замеры значений функции отклика производятся с одинаковой точностью. Это значит, что дисперсии функции отклика в каждой строке матрицы планирования однородны. Для того, чтобы убедиться в этом, производится проверка воспроизводимости опытов. Если число параллельных опытов в каждой строке матрицы одинаково, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кохрена.

Сравнивая опытное и теоретическое значения критерия Кохрена проверяется однородность дисперсии эксперимента. Если опытное значение критерия Кохрена меньше теоретического, то гипотеза о равноточности измерений не отвергается. Если неравенство имеет другой смысл, то гипотеза отвергается.

Статистическая оценка значимости коэффициентов математической модели. Статистическая оценка значимости коэффициентов модели предназначена для исключения второстепенных факторов, т. е. факторов, оказывающих незначительное влияние на исследуемый параметр оптимизации. Показателем для этого служит критерий Стьюдента.

Для выяснения вопроса о статистической значимости коэффициента модели В_i при заданном уровне значимости α = 0,05 вычисляется величина доверительного интервала разброса коэффициента, и если окажется, что половина доверительного интервала превышает значение коэффициента, то данный коэффициент считается незначимым и его исключают из модели. В противном случае коэффициент считается значимым.

Проверка математической модели на адекватность. Для того, чтобы проверить соответствие полученной математической модели изучаемому явлению, производится её проверка на адекватность. Для этого вычисляется опытное значение критерия Фишера и сравнивают его с теоретическим значением при заданном уровне значимости α.

Если опытное значение критерия Фишера меньше теоретического, то модель считается адекватной. Если неравенство имеет другой смысл, то модель признается неадекватной.

Планирование эксперимента для трех, четырех и большего числа факторов. На практике, как правило, приходится планировать эксперименты для большого числа факторов. При этом применяются два правила планирования. Первое правило – при добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды, в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. В этом случае частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое меньше предыдущего. Второе правило – уровень каждого последующего фактора определяется перемножением столбцов матрицы. При построчном перемножении получают соответствующие знаки. Далее повторяется еще раз исходный план, при этом ставятся противоположные знаки. Указанные два правила эквивалентны.

Рандомизация. В зависимости от сложности эксперименты могут продолжаться значительное время. За это время могут произойти изменения условий эксперимента. В связи с этим, опыты, проведённые для первых строк матрицы планирования, могут отличаться от опытов, записанных в последних строках матрицы планирования. В результате возникнет систематическая ошибка и произойдёт искажение результатов эксперимента.

Для того, чтобы исключить влияние систематических ошибок, опыты, записанные в матрице планирования, проводят в случайном порядке, для чего пользуются таблицей случайных чисел.

Таким образом, рандомизация – это выбор точек матрицы планирования в случайном порядке. Рандомизация вносит в эксперимент концепцию случая.

Дробно-факторное планирование. Усложнение и удорожание экспериментов в технико-экономических исследованиях требует ещё большего сокращения числа опытов. В результате используется дробно-факторное планирование эксперимента.

При проведении экспериментов различают насыщенные, ненасыщенные и сверхнасыщенные планы.

Насыщенными называются планы, имеющие место при проведении дробно-факторных экспериментов, для которых число точек плана N равно числу коэффициентов модели n, а также для симплекс-решетчатых планов.

Ненасыщенным называются обычные полнофакторные эксперименты, для которых число точек плана N больше числа коэффициентов модели n.

Сверхнасыщенными называются планы, имеющие место для случая, когда применяется метод случайного баланса, т. е. когда число точек плана N меньше числа коэффициентов модели n.

Для ненасыщенных планов имеет место избыточность числа проводимых экспериментов.

Например, для двухфакторной линейной модели (модель содержит три коэффициента, число точек плана равно четырём) избыточность плана равна Δ= Kⁿ – (n + 1) = 1. Для трёхфакторной линейной модели (модель содержит четыре коэффициента, число точек плана равно восьми) избыточность плана равна 4. Для четырёхфакторной линейной модели (модель модель содержит пять коэффициентов, число плана равно шестнадцать) избыточность плана равна 11.

В соответствии с дробно-факторным планированием эксперимента число точек плана может быть уменьшено. Если число точек плана уменьшается в два раза, то говорят, что имеет место полуреплика. Если число точек плана уменьшается в четыре раза, то говорят что имеет место четверть реплика.

При дробно-факторном планировании точки плана должны быть отобраны так, чтобы при этом сохранялось условие ортогональности исходной матрицы планирования.

Определение области экстремума. Как отмечалось в начале раздела, существуют два вида задач планирования и проведения эксперимента. Одной из этих задач является определение координат экстремальной точки, в которой функция отклика будет иметь максимальное или минимальное значение.

При решении оптимизационных задач явление описывается вначале линейной моделью на двух уровнях. Если линейная модель окажется адекватной, то в этом случае применяется градиентный метод (метод крутого восхождения или наискорейшего спуска) или используется симплекс метод.

Сущность градиентного метода заключается в том, что движение совершается от стартовой точки (точка, которая определяется исходя из априорных сведений и условий опыта) к следующей точке по направлению вектора-градиента при одновременном варьировании всеми факторами. Для каждой точки, используя уравнение регрессии первого порядка, производится аппроксимация поверхности отклика плоскостью для двухфакторной зависимости. Для получения уравнения регрессии первого порядка, применяется ортогональное полнофакторное или неполнофакторное планирование. Вектор-градиент всегда направлен перпендикулярно линиям уровня, в сторону возрастания функции.

При движении по вектору-градиенту используется шаговый метод. Если одного шага недостаточно, тогда совершается второй шаг. Этот процесс продолжается до тех пор, пока вектор-градиент не станет равным 0, т. е. до момента когда линейная модель станет неадекватной. После этого необходимо перейти к описанию явления квадратичной моделью и определить координаты экстремума, т. е. такие значения уровней факторов, при которых функция отклика будет иметь наибольшее или наименьшее значение.

Ортогональное планирование второго порядка. При ортогональном планировании первого порядка симметричность уровней факторов обеспечивала диагональность матрицы (х^Тх). При ортогональном планировании второго порядка указанная матрица не является диагональной. Для нахождения коэффициентов квадратичной однофакторной модели можно использовать метод Гаусса. Для моделей от двух, трех и большего числа факторов метод Гаусса становится трудоёмким и поэтому применяется метод корректирования квадратичных переменных.

При корректировании квадратичных переменных информационная матрица становится диагональной. Поэтому коэффициенты математической модели можно вычислять как для линейной модели.

Ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП). Как отмечалось ранее после достижения области экстремума поверхность функции отклика уже не может быть описана линейной моделью. Это может быть сделано с помощью модели второго порядка. Однако ортогональные планы второго порядка обладают следующими недостатками:

- планы требуют значительного числа экспериментальных точек;

- коэффициенты модели определяются с различными дисперсиями, и, значит, исследователь получает неодинаковую информацию относительно коэффициентов модели;

- дисперсии предсказанного значения функции отклика при вращении плана меняются по весьма сложному закону.

Сущность этого вида планирования состоит в том, что к матрице линейного полнофакторного планирования при n < 5, или к матрице линейного дробно-факторного планирования при n ≥ 5, по каждому из факторов прибавляют по две точки, называемыми «звездными» точками. «Звездные» точки удалены от центра плана на расстояние, значительно превышающее интервал варьирования. Это расстояние называется звездным плечом и обозначается α.

Кроме звездных точек производится один опыт в центре плана. Общее число точек, отвечающих планам ортогонального центрального композиционного планирования составляет

N = 2ⁿ + 2 n + n(0).

Сочетание линейных планов со звёздными точками образует собой композицию указанных двух видов планирования. Поэтому такие планы называются композиционными.

Применяя планы ОЦКП, так же, как при ортогональном планировании все квадратичные переменные корректируются. Это обеспечивает ортогональность исходной матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все коэффициенты математической модели определяются независимо друг от друга по формулам как для линейной модели, с той лишь разницей, что знаменатель в этой формуле для различных коэффициентов имеет различное значение.

Рототабельное центральное композиционное планирование (РЦКП). Важным положительным свойством планов ОЦКП является диагональность информационной матрицы (х^Тх), что позволяет вычислять коэффициенты модели раздельно по простым формулам. Однако планы ОЦКП имеют следующие недостатки:

- коэффициенты модели определяются с различными дисперсиями, и, значит, исследователь получает неодинаковую информацию относительно коэффициентов модели;

- дисперсии предсказанного значения функции отклика при вращении плана меняются по весьма сложному закону.

Для устранения недостатков ОЦКП Бокс и Хантер в 1957 г. предложили рототабельное центральное композиционное планирование экспериментов. Для планов РЦКП, также, как и для планов ОЦКП к линейному ядру модели на двух уровнях пристраиваются звёздные точки. Однако звёздные точки для РЦКП имеют большие значения, чем для планов ОЦКП.

Для увеличения количества информации планы РЦКП предусматривают большее число точек в центре плана и, тем самым, обеспечивается в пределах факторного пространства незначительное изменение дисперсии предсказанного значения функций отклика от расстояния от центра плана. Такое планирование называется униформ-планированием.

Общее число точек для планов РЦКП определяется по формуле

N = 2ⁿ + 2 n(α) + n(0).

Главным положительным свойством планов РЦКП является независимость дисперсии предсказанного значения функции отклика от вращения планов и от расстояния точки факторного пространства от центра плана.

Однако планы РЦКП обладают недостатком, сущность которого состоит в том, что матрица ошибок (х^Тх)^-1 не является диагональной. Это затрудняет вычисление коэффициентов модели.

Для планирования эксперимента и анализа экспериментальных данных широко используются пакеты прикладных программ, например, для статистического анализа данных в среде Windows используется STATISTICA (фирма-производитель StatSoft Inc, USA).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 . Что понимается под пассивным экспериментом?

2. Что понимается под активным экспериментом?

3. Каковы достоинства и недостатки активных и пассивных экспериментов?

4.Какова последовательность решения задач при планировании эксперимента?

5. В каких случаях уместно применять метод математическо­го планирования эксперимента?

6. Что понимается под факторным пространством?

7. Что представляет матрица планирования эксперимента в кодированном виде?

8. Что собой представляет матричное уравнение для определения коэффициентов математической модели?

9. Каковы особенности ортогонального планирования первого порядка?

10. Каковы особенности ортогонального планирования второго порядка?

11. Каковы особенности проверки однородности дисперсии эксперимента?

12. Каковы особенности статистической оценки значимости коэффициентов математической модели?

13. Каковы особенности проверки математической модели на адекватность?

14. Каковы особенности планирования эксперимента для трёх, четырёх и большего числа факторов?

15. Каковы особенности дробно-факторного планирования эксперимента?

16. Каковы особенности определения области экстремума?

17. Каковы особенности ортогонального центрального композиционного планирования?

18. Каковы особенности рототабельного центрального композиционного планирования?