
- •Спецглавы надёжности, планирование экспериментов и инженерных наблюдений
- •2.2. Тематические планы дисциплины
- •Тематический план дисциплины для студентов очной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •2.4. Временной график изучения дисциплины при использовании дот
- •Временной график изучения дисциплины
- •2.5. Практический блок
- •2.5.1. Практические занятия
- •2.5.2. Лабораторный практикум
- •Темы практических занятий (заочной формы обучения)
- •Балльно-рейтинговая система
- •3. Информационные ресурсы дисциплины
- •. Библиографический список
- •3 .2. Опорный конспект по дисциплине
- •1.2. Общая схема научного исследования, его составные части
- •2.2. Понятие о случайных величинах и случайных процессах при эксплуатации машин и оборудования
- •2.3. Показатели надёжности
- •2.4. Испытания на надёжность машин и оборудования
- •3.2. Моделирование. Математические методы при проведении теоретических исследований
- •4. Планирование многофакторного эксперимента
- •При работе с данным разделом Вам предстоит:
- •Изучаемые вопросы:
- •4.1. Основы теории планирования эксперимента
- •4.2. Основы планирования эксперимента
- •5. Изобретательская деятельность. Оформление результатов исследований и их внедрение. Эффект от внедрения исследований
- •При работе с данным разделом Вам предстоит:
- •Изучаемые вопросы:
- •5.1. Изобретательская деятельность
- •5.2. Оформление результатов научно-исследовательской работы
- •5.3. Внедрение результатов научно-исследовательской работы
- •Заключение
- •3.3. Глоссарий
- •Методические указания к проведению практических занятий
- •Практическое занятие 1 Построение уравнения регрессии по результатам пассивного эксперимента
- •1. Задание на практическое занятие
- •2. Основные теоретические положения
- •3. Методические указания по построению уравнения регрессии по результатам пассивного эксперимента
- •3.1. Аппроксимация опытной линии регрессии линейной функцией
- •3.2. Аппроксимация опытной линии регрессии параболической функцией
- •Практическое занятие 2 Построение плана эксперимента
- •1. Задание на практическое занятие
- •2. Основные теоретические положения
- •3. Методические указания по ортогональному планированию эксперимента первого порядка
- •4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4 .1. Задание на контрольную работу и методические указания к её выполнению
- •Задание на контрольную работу
- •Задание
- •4.1.2. Методические указания к выполнению контрольной работы
- •4 .2. Тренировочные тесты текущего контроля Тест № 1
- •Тест № 2
- •2. Нормальный закон распределения формируется в случае
- •3. Безотказность это
- •4. Интенсивность отказов это
- •Тест № 3
- •Тест № 4
- •Тест № 5
- •4 .3. Итоговый контроль. Вопросы к зачету
- •Вопросы к зачету по дисциплине «Спецглавы надёжности, планирование экспериментов и инженерных наблюдений»
- •Спецглавы надёжности, планирование экспериментов и инженерных наблюдений
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, д.5
4. Планирование многофакторного эксперимента
1.
Изучить теоретический материал.
2.
Ответить на вопросы для самопроверки.
3.
Ответить на вопросы тренировочного
теста № 4.
При работе с данным разделом Вам предстоит:
Изучаемые вопросы:
Виды эксперимента. Условия проведения и общая методика пассивного и активного эксперимента. Планирование многофакторного эксперимента. Факторы, их классификация, требования к ним. Линейные и нелинейные математические модели эксперимента.
Полный и дробный факторный эксперимент, их основные свойства. Область применения дробного факторного эксперимента. Свойства планов экспериментов.
Задача ранжирования факторов на этапе подготовки эксперимента. Методика оценки значимости факторов. Достоинства и недостатки экспертного метода ранжирования факторов. Обработка и интерпретация результатов эксперимента.
Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Оптимизационные задачи организации и безопасности дорожного движения. Многофакторные методы оптимизации, их классификация и свойства.
4.1. Основы теории планирования эксперимента
Теория планирования эксперимента входит составной частью в общую математическую теорию эксперимента. Основоположником развития математической теории планирования эксперимента является английский математик Рональд Фишер, который в 1935 г. предложил вместо однофакторного эксперимента, так называемый многофакторный эксперимент.
Планирование эксперимента относится к активному эксперименту, предусматривающему принудительное изменение исследуемых факторов в требуемых пределах. Активный эксперимент – заключается в том, что уровни факторов (координаты опытных точек) назначаются исследователем на основе заранее разработанного алгоритма. Это позволяет произвести кодирование уровней факторов. При этом значительно повышается точность получаемых математических моделей, сокращает число проводимых испытаний. Пассивный эксперимент – заключается в наблюдении и регистрации входных и выходных переменных исследуемого процесса в режиме его обычной работы без вмешательства исследователя и нарушения хода его течения. Это значит, что при пассивном эксперименте расположение опытных точек в факторном пространстве определяется не исследователем, а условиями, в которых протекает изучаемый процесс. Исследователь лишь наблюдает, регистрирует и обрабатывает данные. При пассивном эксперименте кодирование уровней факторов не производится, значительно возрастает число опытных точек и усложняется вычислительная процедура по определению и практическому использованию получаемой математической модели.
При планировании опыты ставятся по заранее составленной схеме (матрице планирования), обладающей оптимальными свойствами. Все факторы при этом варьируются одновременно. Неизвестные или невключенные в исследование факторы рассматриваются как случайные величины. Такой подход уменьшает ошибки параметров, интересующих исследователя. В результате, это позволяет при значительном сокращении числа испытаний получить математическую модель исследуемого явления.
Теория планирования эксперимента оперирует определенными понятиями.
Функция y = f(x1, x2, … хk), характеризующая любой исследуемый процесс, называется функцией отклика.
Независимые переменные х1, х2, … хк — аргументы функции отклика — называются факторами.
Число точек плана при ортогональном планировании определяется по формуле
N = Kn,
где K – число уровней для каждого из факторов;
n – число факторов.
В случае большого числа факторов функция отклика рассматривается как геометрический образ в многофакторном пространстве — поверхность функции отклика.
При планировании эксперимента пользуются моделями, представляющими полиномы 1-й, 2-й степеней и выше. Применение таких моделей очень удобно для решения экстремальных задач.
Интервал варьирования факторов — диапазоны значений, принимаемых каждым фактором.
Уровни варьирования — значения каждого фактора при опытах.
В теории планирования эксперимента широко используется понятие матриц планирования эксперимента, т. е. таблиц, в которых записаны кодированные значения факторов.
Множество точек xi , в которых производятся наблюдения, и соответствующее число наблюдений в этих точках называют планом эксперимента.
План называют симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней. План называют равномерным, если уровни любого фактора встречаются в плане одинаковое для данного фактора число раз.
Матрица планирования называется ортогональной, если сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю.
Ротатабельность — свойство точек матрицы планирования, подобранных так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
При планировании эксперимента значения уровней факторов записываются в таблицу в условных, т. е. в кодированных значениях.
Кодирование преобразует независимые переменные к безразмерным величинам. Это позволяет построить ортогональную матрицу планирования с одинаковыми расстояниями уровней факторов от центра планирования.
При планировании эксперимента стоит задача определения коэффициентов математической модели. Коэффициенты полиномиальной модели подбираются на основе использования метода наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений функции отклика, получаемых с помощью теоретического уравнения, от опытных значений функции отклика должна быть минимальной.
Планирование эксперимента можно разделить на два направления.
Первое – планирование экстремальных экспериментов с задачей определения таких значений уровней факторов, при которых исследуемый параметр оптимизации будет иметь наибольшее значение.
Второе – это планирование с задачей выявления механизма явления или процесса, т. е. выявления степени влияния различных факторов на исследуемый параметр оптимизации. В этом случае предполагается известным аналитический вид модели, описывающей данное явление. Задача планирования заключается в нахождении параметров известной модели.
При проведении экстремальных экспериментов необходимо попасть в область оптимума и описать ее математической моделью при наименьшем количестве опытов. Чтобы избежать полиномов высокого порядка, используется шаговый метод изучения поверхности отклика. При этом методе исследователь вначале ставит небольшую серию опытов для локального описания малого участка поверхности отклика полиномом первой степени. На этом этапе используется ортогональное планирование (полный факторный эксперимент, планы дробных реплик). После статистической обработки и получения линейной адекватной модели начинается поиск зоны оптимума движением по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Движение в направлении градиента является движением по кратчайшему (крутому) к экстремуму пути (отсюда и название метода — метод крутого восхождения).
Движение по градиенту производят с определенными шагами восхождения, пропорциональными коэффициентам линейного полинома, умноженным на интервалы варьирования данных факторов. Шаги находятся путем уменьшения наибольшего произведения в U раз так, чтобы полученный шаг был приемлем с технологической точки зрения. Полученные шаги округляют.
Крутое восхождение начинают из центра эксперимента путем прибавления к основному уровню полученных шагов и реализации полученных значений факторов матрицей планирования. Опыты для каждого шага называют мысленными опытами, часть из которых реализуется.
Восхождение прекращается, когда все коэффициенты линейного приближения окажутся незначащими. Это свидетельствует о том, что исследователь вошел в область оптимума. Для описания этой области применяют описание поверхности отклика полиномом второго порядка (композиционные планы, ротатабельные планы и др.). После проверки адекватности полученной модели находят значения факторов, соответствующих оптимуму поверхности отклика по всем переменным факторам.
Применение планирования эксперимента для изучения механизма явлений предполагает наличие известной аналитической зависимости данного явления. В этом случае модель путем линеаризации приводится к линейному виду и для нее применяется схема эксперимента, наиболее присущая полученному полиному. Затем следует математическая обработка результатов и оценивается адекватность полученной зависимости.
Получившиеся в результате проведенных опытов модели анализируются. Из моделей первого порядка можно извлечь сведения о влиянии факторов на параметр оптимизации, о его увеличении или уменьшении в зависимости от знака перед коэффициентом модели.
Полиномы второго порядка, полученные для описания области оптимума, подвергаются тщательному анализу методами аналитической геометрии. Поверхность отклика может принадлежать к одному из трех типов:
- эллиптическому, т. е. уравнение полинома описывается уравнением эллиптического параболоида;
- минимаксному, т. е. седлообразному;
- уравнение гиперболического параболоида;
- возрастающего возвышения.
При сечении этих поверхностей плоскостями получаются изолинии поверхности отклика.
При применении теории планирования экспериментов можно выделить следующие основные этапы:
- формулировка цели и задач исследования с выдвижением основных гипотез, подлежащих проверке;
- выбор объекта исследования и его изучаемых параметров, а также факторов, активно изменяющихся в ходе исследования; если на функцию отклика оказывает влияние значительное число факторов, то вначале, применяя экспертный метод или случайного баланса, производится отсев всех незначащих факторов;
- выбор центральной точки эксперимента, для определения которой диапазон изменения каждого из факторов делится пополам; этим определяется центр плана и осуществляется выбор интервалов варьирования факторов в экспериментах;
- составление комбинаций уровней факторов, при которых исследуется поведение системы;
- определение повторяемости каждого опыта и определение общего числа опытов;
- выбор порядка реализации опытов;
- выбор вида математической модели, которой предполагается описывать рассматриваемое явление; для начала используется линейная модель;
- в зависимости от условий и задач эксперимента выбирается вид планирования (ортогональное, ортогональное центральное композиционное, рототабельное центральное композиционное и т. д.);
- определяется возможность использования дробных реплик;
- производится эксперимент, на основе которого определяется математическая модель; далее производится проверка воспроизводимости эксперимента; отсеиваются незначащие эффекты с помощью критерия Стьюдента, и полученная модель проверяется на адекватность с помощью критерия Фишера;
- если полученная математическая модель окажется адекватной, то производится поиск оптимального значения функции отклика и определяются соответствующие этой области значения факторов.
Выявление существенных факторов. При проведении эксперимента в план исследования должны быть включены все факторы, которые могут оказать влияние на функцию отклика. Обычно таких факторов много. При этом некоторые из них оказывают сильное влияние на функцию отклика, а другие слабое. Поэтому важным является определение степени влияния каждого из факторов на функцию отклика, построение ранжировочного ряда и отсеивание всех несущественных факторов. В результате такого ранжирования факторов сокращается объём экспериментальных исследований.
Существует несколько способов построения ранжировочного ряда: экспертным методом, планирования эксперимента, методом случайного баланса. Экспертный метод требует наличия экспертов и поэтому не всегда возможен. Планирование эксперимента для большого числа факторов связано с громоздкими вычислениями. Метод случайного баланса возможен только для случая, когда заранее известно, что явление описывается линейной моделью.
Построение ранжировочного ряда экспертным методом. Суть этого метода сводится к тому, что экспертам, принадлежащим к различным научным школам, предлагается расположить факторы, действующие на объект исследования, в порядке убывания величины вносимого ими вклада или влияния на функцию отклика. Число опрашиваемых специалистов должно быть, по возможности, максимальным. По результатам каждого опроса вычисляется коэффициент конкордации W (согласования), определяющий степень согласованности мнений специалистов.
Значение коэффициента конкордации изменяется в интервале от 0 до 1, и чем больше его значение, тем больше согласованность мнений специалистов.
После вычисления коэффициента конкордации определяется его значимость по критерию Пирсона χ2 .
Расчетное значение χ2 – критерия сравнивается с табличным, определённым на заданном уровне значимости и при рассчитанном числе степеней свободы. Если расчетное значение больше табличного, то коэффициент конкордации значимо отличается от 0 и можно утверждать, что фактор оказывает сильное влияние на функцию отклика. В обратном случае влияние фактора признается незначимым.