4. Планирование многофакторного эксперимента

При работе с данным разделом Вам предстоит:

1. Изучить теоретический материал.

2. Ответить на вопросы для самопроверки.

3. Ответить на вопросы тренировочного теста № 4.

Изучаемые вопросы:

Виды эксперимента. Условия проведения и общая методика пассивного и активного эксперимента. Планирование многофакторного эксперимента. Факторы, их классификация, требования к ним. Линейные и нелинейные математические модели эксперимента.

Полный и дробный факторный эксперимент, их основные свойства. Область применения дробного факторного эксперимента. Свойства планов экспериментов.

Задача ранжирования факторов на этапе подготовки эксперимента. Методика оценки значимости факторов. Достоинства и недостатки экспертного метода ранжирования факторов. Обработка и интерпретация результатов эксперимента.

Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Оптимизационные задачи организации и безопасности дорожного движения. Многофакторные методы оптимизации, их классификация и свойства.

4.1. Основы теории планирования эксперимента

Теория планирования эксперимента входит со­ставной частью в общую математическую теорию экс­перимента. Основоположником развития математической теории планирования эксперимента является английский математик Рональд Фишер, который в 1935 г. предложил вместо однофакторного эксперимента, так называемый многофакторный эксперимент.

Планирование эксперимента относится к активному эксперименту, предусматривающему принудительное из­менение исследуемых факторов в требуемых пределах. Активный эксперимент – заключается в том, что уровни факторов (координаты опытных точек) назначаются исследователем на основе заранее разработанного алгоритма. Это позволяет произвести кодирование уровней факторов. При этом значительно повышается точность получаемых математических моделей, сокращает число проводимых испытаний. Пассивный эксперимент – заключается в наблюдении и регистрации входных и выходных переменных исследуемого процесса в режиме его обычной работы без вмешательства исследователя и нарушения хода его течения. Это значит, что при пассивном эксперименте расположение опытных точек в факторном пространстве определяется не исследователем, а условиями, в которых протекает изучаемый процесс. Исследователь лишь наблюдает, регистрирует и обрабатывает данные. При пассивном эксперименте кодирование уровней факторов не производится, значительно возрастает число опытных точек и усложняется вычислительная процедура по определению и практическому использованию получаемой математической модели.

При планировании опыты ставятся по заранее состав­ленной схеме (матрице планирования), обладающей оптимальными свойствами. Все факторы при этом варьируются одновременно. Неизвестные или невключенные в исследование факторы рассматриваются как случайные величины. Такой подход уменьшает ошибки параметров, инте­ресующих исследователя. В результате, это позволяет при значительном сокращении числа испытаний получить математическую модель исследуемого явления.

Теория планирования эксперимента оперирует опре­деленными понятиями.

Функция y = f(x₁, x₂, … х_k), характеризующая любой исследуемый процесс, называется функцией отклика.

Независимые переменные х₁, х₂, … х_к — аргументы функции отклика — называются факторами.

Число точек плана при ортогональном планировании определяется по формуле

N = Kⁿ,

где K – число уровней для каждого из факторов;

n – число факторов.

В случае большого числа факторов функция отклика рассматривается как геометрический образ в многофак­торном пространстве — поверхность функции отклика.

При планировании эксперимента пользуются моде­лями, представляющими полиномы 1-й, 2-й степеней и выше. Применение таких моделей очень удобно для решения экстремальных задач.

Интервал варьирования факторов — диапазоны зна­чений, принимаемых каждым фактором.

Уровни варьирования — значения каждого фактора при опытах.

В теории планирования эксперимента широко ис­пользуется понятие матриц планирования эксперимента, т. е. таблиц, в которых записаны кодированные значе­ния факторов.

Множество точек x_i , в которых производятся наблюдения, и соответствующее число наблюдений в этих точках называют планом эксперимента.

План называют симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней. План называют равномерным, если уровни любого фактора встречаются в плане одинаковое для данного фактора число раз.

Матрица планирования называется орто­гональной, если сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю.

Ротатабельность — свойство точек матрицы планиро­вания, подобранных так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

При планировании эксперимента значения уровней факторов записываются в таблицу в условных, т. е. в кодированных значениях.

Кодирование преобразует независимые переменные к безразмерным величинам. Это позволяет построить ортогональную матрицу планирования с одинаковыми расстояниями уровней факторов от центра планирования.

При планировании эксперимента стоит задача определения коэффициентов математической модели. Коэффициенты полиномиальной модели подбираются на основе использования метода наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений функции отклика, получаемых с помощью теоретического уравнения, от опытных значений функции отклика должна быть минимальной.

Планирование эксперимента можно разделить на два направления.

Первое – планирование экстремальных экспериментов с задачей определения таких значений уровней факторов, при которых исследуемый параметр оптимизации будет иметь наибольшее значение.

Второе – это планирование с задачей выявления механизма явления или процесса, т. е. выявления степени влияния различных факторов на исследуемый параметр оптимизации. В этом случае предпола­гается известным аналитический вид модели, описы­вающей данное явление. Задача планирования заклю­чается в нахождении параметров известной модели.

При проведении экстремальных экспериментов необ­ходимо попасть в область оптимума и описать ее мате­матической моделью при наименьшем количестве опы­тов. Чтобы избежать полиномов высокого порядка, ис­пользуется шаговый метод изучения поверхности от­клика. При этом методе исследователь вначале ставит небольшую серию опытов для локального описания ма­лого участка поверхности отклика полиномом первой степени. На этом этапе используется ортогональное пла­нирование (полный факторный эксперимент, планы дробных реплик). После статистической обработки и получения линейной адекватной модели начинается поиск зоны оптимума движением по поверхности от­клика в направлении градиента линейного приближе­ния. Движение в направлении градиента является дви­жением по кратчайшему (крутому) к экстремуму пути (отсюда и название метода — метод крутого восхожде­ния).

Движение по градиенту производят с определенными шагами восхождения, пропорциональными коэффициен­там линейного полинома, умноженным на интервалы варьирования данных факторов. Шаги находятся путем уменьшения наибольшего произведения в U раз так, чтобы полученный шаг был приемлем с технологической точки зрения. Полученные шаги округляют.

Крутое восхождение начинают из центра экспери­мента путем прибавления к основному уровню получен­ных шагов и реализации полученных значений факто­ров матрицей планирования. Опыты для каждого шага называют мысленными опытами, часть из которых реали­зуется.

Восхождение прекращается, когда все коэффициенты линейного приближения окажутся незначащими. Это свидетельствует о том, что исследователь вошел в об­ласть оптимума. Для описания этой области применяют описание поверхности отклика полиномом второго по­рядка (композиционные планы, ротатабельные планы и др.). После проверки адекватности полученной мо­дели находят значения факторов, соответствующих опти­муму поверхности отклика по всем переменным фак­торам.

Применение планирования эксперимента для изуче­ния механизма явлений предполагает наличие известной аналитической зависимости данного явления. В этом случае модель путем линеаризации приводится к ли­нейному виду и для нее применяется схема экспери­мента, наиболее присущая полученному полиному. Затем следует математическая обработка результатов и оце­нивается адекватность полученной зависимости.

Получившиеся в результате проведенных опытов мо­дели анализируются. Из моделей первого порядка можно извлечь сведения о влиянии факторов на параметр опти­мизации, о его увеличении или уменьшении в зависи­мости от знака перед коэффициентом модели.

Полиномы второго порядка, полученные для описа­ния области оптимума, подвергаются тщательному ана­лизу методами аналитической геометрии. Поверхность отклика может принадлежать к одному из трех типов:

- эллиптическому, т. е. уравнение полинома описывается уравнением эллиптического параболоида;

- минимаксному, т. е. седлообразному;

- уравнение гиперболического па­раболоида;

- возрастающего возвышения.

При сечении этих поверхностей плоскостями получаются изолинии поверхности отклика.

При применении теории планирования экспериментов можно выделить следующие основные этапы:

- формулировка цели и задач исследования с вы­движением основных гипотез, подлежащих проверке;

- выбор объекта исследования и его изучаемых па­раметров, а также факторов, активно изменяющихся в ходе исследования; если на функцию отклика оказывает влияние значительное число факторов, то вначале, применяя экспертный метод или случайного баланса, производится отсев всех незначащих факторов;

- выбор центральной точки эксперимента, для определения которой диапазон изменения каждого из факторов делится пополам; этим определяется центр плана и осуществляется выбор интервалов варьирования факторов в экс­периментах;

- составление комбинаций уровней факторов, при которых исследуется поведение системы;

- определение повторяемости каждого опыта и определение общего числа опытов;

- выбор порядка реализации опытов;

- выбор вида математической модели, которой предполагается описывать рассматриваемое явление; для начала используется линейная модель;

- в зависимости от условий и задач эксперимента выбирается вид планирования (ортогональное, ортогональное центральное композиционное, рототабельное центральное композиционное и т. д.);

- определяется возможность использования дробных реплик;

- производится эксперимент, на основе которого определяется математическая модель; далее производится проверка воспроизводимости эксперимента; отсеиваются незначащие эффекты с помощью критерия Стьюдента, и полученная модель проверяется на адекватность с помощью критерия Фишера;

- если полученная математическая модель окажется адекватной, то производится поиск оптимального значения функции отклика и определяются соответствующие этой области значения факторов.

Выявление существенных факторов. При проведении эксперимента в план исследования должны быть включены все факторы, которые могут оказать влияние на функцию отклика. Обычно таких факторов много. При этом некоторые из них оказывают сильное влияние на функцию отклика, а другие слабое. Поэтому важным является определение степени влияния каждого из факторов на функцию отклика, построение ранжировочного ряда и отсеивание всех несущественных факторов. В результате такого ранжирования факторов сокращается объём экспериментальных исследований.

Существует несколько способов построения ранжировочного ряда: экспертным методом, планирования эксперимента, методом случайного баланса. Экспертный метод требует наличия экспертов и поэтому не всегда возможен. Планирование эксперимента для большого числа факторов связано с громоздкими вычислениями. Метод случайного баланса возможен только для случая, когда заранее известно, что явление описывается линейной моделью.

Построение ранжировочного ряда экспертным методом. Суть этого метода сводится к тому, что экспертам, принадлежащим к различным научным школам, предлагается расположить факторы, действующие на объект исследования, в порядке убывания величины вносимого ими вклада или влияния на функцию отклика. Число опрашиваемых специалистов должно быть, по возможности, максимальным. По результатам каждого опроса вычисляется коэффициент конкордации W (согласования), определяющий степень согласованности мнений специалистов.

Значение коэффициента конкордации изменяется в интервале от 0 до 1, и чем больше его значение, тем больше согласованность мнений специалистов.

После вычисления коэффициента конкордации определяется его значимость по критерию Пирсона χ² .

Расчетное значение χ² – критерия сравнивается с табличным, определённым на заданном уровне значимости и при рассчитанном числе степеней свободы. Если расчетное значение больше табличного, то коэффициент конкордации значимо отличается от 0 и можно утверждать, что фактор оказывает сильное влияние на функцию отклика. В обратном случае влияние фактора признается незначимым.