
- •Линейное программирование
- •Понятие экономико-математической модели
- •Примеры построения эмм экономических задач линейного программирования
- •Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства).
- •Задача о раскрое материалов.
- •Система m линейных уравнений с n переменными
- •Геометрический смысл решений неравенств, уравнений и их систем
- •Свойства задач лп
- •Геометрический метод решения задач лп
- •Симплексный метод
- •Нахождение оптимума линейной функции
- •Особые случаи симплексного метода
- •Симплексные таблицы
- •Метод искусственного базиса (м-метод)
Линейное программирование
Оптимизационная задача была сформулирована в общем виде: найти переменные х1, х2, …, хп, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)
φi (х1, х2, …, хп) <= bi, i=1,2,…,m (1)
и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию
Z = f ((х1, х2, …, хп) max (2)
(Условия неотрицательности переменных, если они есть, входят в ограничения (1)).
Если критерий эффективности (2) представляет линейную функцию и функции φi в системе ограничений (1) также линейны, то такая задача называется задачей линейного программирования.
Понятие экономико-математической модели
Существует много различных определений понятия «модель», отличающихся друг от друга. Но это понятие знакомо каждому: игрушечный корабль – модель корабля, фотоснимок пейзажа, географическая карта – модель местности, формула – математическая модель. Под моделью будем понимать условный образ какого-либо объекта, приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка. В экономико-математ моделях объектом является экономический процесс (например, использование ресурсов, распределение изделий между различными типами оборудования и т.п.), а языком – классические и специально разработанные математические методы.
Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса с помощью математических соотношений.
Процедура экономико-математ моделирования заменяет дорогостоящие и трудоемкие натуральные эксперименты расчетами. При помощи ЭВМ можно достаточно быстро и дешево произвести сравнение многочисленных вариантов планов и управленческих решений. В результате отбираются наиболее оптимальные варианты.
Примеры построения эмм экономических задач линейного программирования
Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства).
Для изготовления двух видов продукции П1 и П2 используют три вида ресурсов Р1, Р2 и Р3. Известны запасы этих ресурсов В1, В2 и В3 и число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы каждого вида продукции а11, а12, а21, а22, а31, а32. Известна также прибыль, получаемая от единицы продукции П1 и П2 – соответственно С1 и С2.
Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет макс.
ЭММ задачи:
Х1 и Х2 – число единиц продукции П1 и П2 соответственно.
F = С1*Х1 + С2*Х2 (1.1)
П
ри
ограничениях:
а11*Х1
+ а12*Х2 <= В1
а21*Х1 + а22*Х2 <= В2 (1.2)
а31*Х1 + а32*Х2 <= В3
По смыслу задачи Х1>=0, X2>=0. (1.3)
Итак ЭММ задачи: найти такой план выпуска продукции Х = (Х1, Х2), удовлетворяющий системе (1.2) и условию (1.3), при котором функция (1.1) принимает макс значение.
В общей постановке ЭММ задачи об использовании ресурсов примет вид:
Найти такой план Х = (Х1, Х2, …, Хn) выпуска продукции, удовлетворяющий системе
а11*Х1 + а12*Х2 + … + а1n*Xn <= В1
а21*Х1 + а22*Х2 + … + а2n*Xn <= В2 (1.4)
………………………….
аm1*Х1 + аm2*Х2 + … + аmn*Xn <= Вm
и условию Х1>=0, X2>=0, …, Xn>=0, (1.5)
при котором функция
F = С1*Х1 + С2*Х2 + … + Сn*Xn (1.6)
принимает макс значение.