4.2.3. Определение корней характеристического уравнения

Если получено итоговое дифференциальное уравнение (4.2), то для составления характеристического уравнения в нем все производные от искомой величины заменяются корнем p в соответствующей степени, а сама искомая функция заменяется единицей:

. (4.6)

Однако процедура получения дифференциального уравнения (4.2) не всегда очевидна и всегда скучна и утомительна. Поэтому разработаны более ловкие и удобные методы составления характеристического уравнения.

Приведем некоторые из них без доказательства в виде практических рекомендаций.

Метод входного сопротивления (входной проводимости)

• Составляем цепь, соответствующую свободному режиму (для этого удаляем все источники электрической энергии: источники ЭДС замыкаем накоротко, ветви с источниками тока размыкаем).

• Размыкаем цепь в произвольном месте и относительно точек разрыва записываем входное комплексное сопротивление , при этом комплекс емкостного сопротивления, а индуктивного.

• В полученном выражении повсеместно величину заменяем корнемpи приравниваем выражение к нулю.

• Уравнение является характеристическим уравнением.

Следует отметить, что для цепей, содержащих большое количество параллельных ветвей, удобно пользоваться методом входной проводимости. Метод состоит в том, что записывается эквивалентная комплексная проводимость между двумя произвольными узлами послекоммутационной цепи с отключёнными источниками. Далее, как и в предыдущем случае,j заменяется нар и решается уравнение .

Метод главного определителя

• Составляем цепь, соответствующую свободному режиму.

• Выбираем независимые контуры и задаем направление их контурных токов.

• Составляем главный определитель , состоящий из собственных и общих контурных комплексных сопротивлений.

• Повсеместно заменяем наpи приравниваем нулю.

• Уравнение – характеристическое уравнение

.

Р

R₃

ассмотрим применение описанных способов определения корней характеристического уравнения на примере цепи второго порядка(рис. 4.4).

Метод входного сопротивления. Разорвём ветвь в цепи (рис. 4.4), содержащую емкость, и относительно точек разрыва запишем входное сопротивление

Тогда характеристическое уравнение для указанной цепи

Метод главного определителя. Выберем независимые контуры и укажем направление их обхода (рис. 4.4). Составим главный определитель, заменяянаp

.

Как видно, оба метода приводят к одному характеристическому уравнению.

Существует еще один способ, основанный на определении постоянной времени, применимый только для цепей Iпорядка.

Постоянной временицепи называют промежуток времени, за который искомая величина изменится вераз. Время переходного процесса прямо пропорциональнои приближённо равно:

.(4.7)

Для устойчивых цепей (цепей, в которых соблюдается условие ) корни характеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрицательную действительную часть. Постоянная времени для цепейIпорядка связана с корнем характеристического уравнения:

.(4.8)

Причём для цепей, содержащих ёмкость, –=R_эС, а для цепей, содержащих индуктивность, –=L/R_э, где R_э– эквивалентное сопротивление послекоммутационной цепи, вычисленное относительно зажимов единственного реактивного элемента (накопителя энергии) при удаленных источниках.