Лекции по ТОЭ6 / Часть 2 / Часть 2 / Перех.проц2
.doc
4.2.6. Переходные процессы в цепях второго порядка
Одна из классических задач в теории переходных процессов – анализ разряда конденсатора на цепь RL.
4.2.6.1. Разряд емкости на цепь RL
1. Независимые начальные условия для рассматриваемой цепи (рис. 4.15):
2. Дифференциальное уравнение цепи и корни характеристического уравнения:
;
.
Характеристическое уравнение
или . (4.11)
Корни характеристического уравнения
. (4.12)
3. Полное решение . Вид свободной составляющей и характер переходного процесса будут определяться тем, какими числами будут корни характеристического уравнения. Это зависит от соотношения между параметрами цепи, в частности, от подкоренного выражения в уравнении (4.12). Здесь возможны три варианта:
-
, где – волновое сопротивление контура, т.е. для низкодобротных контуров Q < 0,5. При этом корни p1 и p2 – вещественные отрицательные разные.
-
или Q = 0,5: корни p1 = p2 – вещественные отрицательные равные
-
или Q > 0,5: корни p1 и p2 – комплексные сопряженные.
В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер (напряжение на емкости uC монотонно затухает до нуля, не меняя своей полярности); в третьем случае процесс разряда – колебательный.
4.2.6.2. Апериодический емкости на цепь RL
Рассмотрим случай, когда p1,2 – действительные и отрицательные, т.е. . В этом случае переходный процесс называется апериодическим и вид полного решения следующий:
Найдем постоянные интегрирования А1 и А2:
;
; аналогично: .
Таким образом, искомое имеет вид:
.
; .
Качественно изобразим график (рис. 4.15).
Рассмотрим начальные значения:
П олучим функцию изменения тока в цепи:
.
С учетом того, что по теореме Виета ,
.
Для построения графика (рис. 4.16) проведем аналогичные изложенным выше исследования. Поскольку , первая экспонента имеет большую постоянную времени и обращается в нуль за больший промежуток времени. Так как , , , тогда
Получим функцию изменения напряжения на индуктивности
.
С учетом сказанного выше, exp1 находится в нижней полуплоскости и имеет большую постоянную времени, а exp2 находится в верхней полуплоскости и устремляется к нулю за меньший промежуток времени (рис. 4.17).
Начальные условия определяются следующим образом . Поскольку , модули exp1, 2 отличаются на E, причем exp1(0+) < exp2(0+).
4 .2.5.3. Колебательный заряд конденсатора
В случае, если корни характеристического уравнения p1,2 комплексные сопряженные, переходный процесс имеет колебательный характер. В данном случае и подкоренное выражение отрицательное. Корни характеристического уравнения в общем случае записываются в виде
,
где – коэффициент затухания;
– частота свободных (собственных) колебаний контура.
Между и существует следующая связь
.
Поскольку все изложенные выше выкладки применимы и для данного случая, запишем полное решение
.
Подставив в данную формулу выражения для и , получим:
.
Определим ток в контуре
Таким образом,
.
Введем и упростим выражение, полученное для :
,
тогда, обозначив , где ,
Таким образом,
.
При построении графиков следует принимать во внимание соотношение между постоянной времени экспоненты и периодом синусоиды в свободной составляющей. Рассмотрим два варианта.
1 . . В данном случае возможно графическое перемножение экспоненты и синусоиды (рис. 4.18).
2. . В данном случае возможно только аналитическое определение свободной составляющей (рис. 4.19). Для этого необходимо оценить время переходного процесса , где . Далее в зависимости от необходимой точности построения графика этот промежуток времени следует разбить на n интервалов t и далее рассчитать значение искомой функции в каждый момент .
Получим общий вид системы уравнений для определения постоянных интегрирования для случая комплексных корней характеристического уравнения. Как уже было показано, полное решение запишется
.
Для определения В1 и В2 составим систему уравнений:
Запишем для t = 0+
Таким образом, искомая система уравнений имеет вид:
4.2.5.4. Общий случай расчета цепи II порядка
Проиллюстрируем рассмотренную выше методику на примере цепи второго порядка.
Пусть дана цепь (рис. 4.20) с параметрами Е = 30 В, J = 2 А, R1 = 20 Ом, R2 = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн.
Требуется определить закон изменения тока i1(t) после коммутации.
1. Правила коммутации:
iL(0-) = iL(0+) = 0 А,
uC (0-) = uC (0+) = JR2 = 20 B.
2. Составление характеристического уравнения цепи. С помощью совместного решения однородной системы дифференциальных уравнений. Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:
Методом исключения получаем из данной системы дифференциальное неоднородное уравнение
Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид
Подставим значения параметров цепи:
p2 + 700p + 300000 = 0.
Корни характеристического уравнения
p1 = – 350 + j421,308, p2 = – 350 – j421,308
являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.
3. Определение принужденной составляющей. Рассматриваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 4.21)
4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде
,
где – декремент затухания,
– частота свободных колебаний определяются через корни характеристического уравнения .
Таким образом, в выражении i1св необходимо определить постоянные интегрирования А1 и А2. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента t = 0+:
4.1. Определение значений и с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае составляется система уравнений Кирхгофа. Методом исключения выражается значение тока через известные значения uC(0+) и i2(0+):
.
Дифференцируя выражение для i1(t), получим
.
Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим
.
Подставив соответствующие значения uC и iL в момент t = 0+, рассчитаем
A/с.
4.2. Определение i1(0+) и с использованием резистивных схем замещения в момент t = 0+. При построении схемы замещения в 0+:
–источники с ЭДС или задающим током, номиналы резисторов оставить неизменными;
– емкости и индуктивности же заменить в соответствии со следующим правилом: емкости с нулевыми начальными условиями () заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями () заменяются противодействующими источниками ЭДС с ;
– ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (), размыкаются, в случае ненулевых начальных условий () индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .
Схема замещения в 0+ для величин токов и напряжений изображена на рис. 4.22.
По II закону Кирхгофа получим
.
Для построения схемы замещения в (0+) для производных токов и напряжений необходимо определить начальные значения:
Таким образом, следует определить iC(0+) и uL(0+) с помощью уже полученной схемы замещения:
а) для определения uL(0+) составим уравнение по II закону Кирхгофа:
,
подставив значения, получим uL(0+) = 0, следовательно, .
б) iC(0+) = i1(0+) = 0,5 A, следовательно, = 5000 B/с.
При построении схемы замещения в 0+ для производных следует:
– источники заменить на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равным соответственно производной от данных в задании;
– номиналы резисторов оставить неизменными;
– емкости и индуктивности же заменить в соответствии со следующим правилом: емкости с нулевыми начальными условиями () заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями () заменяются противодействующими источниками ЭДС с ;
– ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (), размыкаются, в случае ненулевых начальных условий () индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .
Таким образом, осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа.
В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками (т.к. ), а ветви с источниками тока размыкаются (т.к. ).
Таким образом, схема замещения в t = 0+ для производных имеет вид (рис. 4.23). Определим .
4.3. Определение постоянных интегрирования:
Решив данную систему уравнений, получим
А1 = 0,1667, А2 = – 0,455.
5. Определение полного решения. Полное решение следует искать в виде
i1(t) = i1пр + i1св.
С учетом произведенных расчетов получим
Для удобства преобразуем полученное выражение в синусоидальную форму:
.
Таким образом, искомый ток изменяется по следующему закону
i1(t) = 1/3 + 0,485e-350t sin(421,308t + 2,788).
График изменения i1(t) представлен на рис. 4.24.
Порядок расчета переходных процессов классическим методом:
-
расчет принужденной составляющей переходного процесса;
-
определение корней характеристического уравнения;
-
определение свободной составляющей переходного процесса в зависимости от полученных корней;
-
запись полного решения ;
-
определение независимых начальных условий (ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе) из расчета докоммутационного режима;
-
определение постоянных интегрирования;
-
нахождение окончательного решения .
Классический метод анализа переходных процессов, будучи прозрачным и наглядным, имеет недостатки, связанные с громоздкой процедурой определения начальных условий, которые усугубляются с ростом порядка исследуемой цепи.