4.3. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
Классический метод расчета обладает несомненными достоинствами, обусловленными физической наглядностью связей между величинами, которые выражаются дифференциальными уравнениями Кирхгофа, и сравнительной простотой их совместного решения. Часто, однако, задачи при решении классическим методом приводят к громоздким выкладкам, связанным, главным образом, с отысканием постоянных интегрирования, причем, эта процедура усложняется с ростом порядка цепи.
Отмеченные недостатки отсутствуют при применении операторного метода, в соответствии с которым уравнения переходного процесса в линейных цепях, представляющие собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, можно интегрировать операторным методом, основанном на преобразовании Лапласа.
Идея операторного
метода заключается в замене вещественной
переменной t
комплексной
переменной
,
осуществляемой в соответствии с
функциональным преобразованием Лапласа.
При этом каждой временной функции
,
называемойоригиналом
(прообразом),
ставится в соответствие функция
,
именуемаяизображением
(образом).
Эта операция записывается f(t) = F(p).
В результате такой замены система
дифференциальных уравнений для оригиналов
преобразуется в систему алгебраических
уравнений для их изображений. В результате
решения этой системы определяют
изображение
искомой величины, а на заключительном
этапе переходят к физически понятной
функции – оригиналу
.
Подобный прием применялся при анализе стационарного решения цепей символическим методом. Однако в то время, как символический метод можно применять лишь к гармоническим функциям, операторный метод обладает значительно большей общностью и применим к широкому классу функций.
4.3.1. Преобразование Лапласа.
Условие существования, ограничения, основные теоремы
операторного метода
.
(4.27)
Функция (4.27) называется интегралом Лапласа, который ставит в соответствие оригиналу f(t) операторное изображение F(p), т.е. f(t) = F(p).
Поскольку это несобственный интеграл, то надо оговорить условия его сходимости:
функция f(t) должна отвечать условиям Дирихле;
функция f(t) ограничена, т.е. при
она конечна или если и растет по модулю,
то не быстрее некоторой экспоненциальной
функции
,
гдеA
и – положительные
числа, т.е.
.
В этом случае
интеграл Лапласа сходится, т.е. имеет
конечное значение при условии, что
.
Итак, всегда можно
выбрать достаточно большое
,
не уточняя какое именно, так, чтоF(p)
в полуплоскости
является однозначной функцией, т.е.
интеграл Лапласа существует в области
.
Основным достоинством преобразования Лапласа является его простая связь с частотным спектром функции f(t), широко используемом в теории и современной технике. В преобразовании Лапласа обычно подразумевают, что интервал интегрирования начинается с момента возмущения t = 0+, так что оно не отражает особенностей функции в точке t = 0.
Преобразование Лапласа может учитывать изменение физической величины в точке t = 0, если его представить в форме
.
(4.28)
Выбор нижнего предела удобен, т.к. при этом учитываются особенности изменения воздействия и реакции в t = 0, когда они содержат импульсную составляющую, а также при использовании начальных условий (0–), которые задаются формулировкой задачи.
Теоремы операторного метода
1) теорема об однозначном соответствии: f(t) = F(p) и F(p) = f(t);
2) теорема о линейности: f(t) = F(p) af(t) = aF(p);
3) теорема о сумме: aifi(t) = aiFi(p);
4) теорема
запаздывания: f(t – t0) =
;
5) теорема смещения
параметра: f(t – ) =
;
6) теорема о свертке: если f(t) = F(p) и g(t) = G(p), то
=
;
7) предельные соотношения принужденных составляющих:
7.1)
;
7.2)
.