Но стержневые (ключевые) теоремы

8) теорема о производной: f(t) _=^ F(p)   _=^ pF(p) – f(0);

9) теорема об интеграле:  _=^ ,

они алгебраизируют систему дифференциальных уравнений.

Некоторые типовые преобразования Лапласа

В справочниках табулировано большое число функций и их изменений.

4.3.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Рассмотрим цепь (рис. 4.25).II закон Кирхгофа во временной области (для оригиналов):

. (4.29)

К уравнению (4.29) применим преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений:

. (4.30)

Каждое слагаемое уравнения (4.30) заменим операторным изображением:

, (4.31)

где – операторное сопротивление;

– операторная ЭДС, учитывающая ненулевой запас энергии магнитного поляW_м в индуктивности (по току i_L(0));

– операторная ЭДС, учитывающая ненулевой запас энергии электрического поляW_эл в емкости (по напряжению u_C(0))/

При нулевых начальных условиях (аналогично цепям постоянного тока).

По I закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю . Применим преобразование Лапласа к этому уравнению и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений

. (4.32)

Уравнение (4.32) выражает собой I закон Кирхгофа в операторной форме, аналогично выражению для цепей постоянного тока.

Для любого замкнутого контура электрической цепи можно составить уравнение по II закону Кирхгофа . Применим преобразование Лапласа

. (4.33)

Уравнение (4.33) представляет собой математическую запись II закона Кирхгофа в операторной форме, уравнение (4.34) представляет собой модификацию (4.33)

. (4.34)

Аналог в цепях постоянного тока .

При нулевых начальных условиях просматривается полная аналогия с цепями постоянного тока, при ненулевых появляются отличия, заключающиеся в необходимости введения операторных ЭДС, учитывающих и отображающих ненулевой запас энергии магнитного поля W_м в индуктивности и энергии электрического поля W_эл в емкости.

Отсюда важный вывод: весь расчетный аппарат работает и при анализе переходных процессов, только в операторной форме. При этом необходимо учесть операторные ЭДС.

4.3.3. Эквивалентные операторные схемы

При расчете переходных процессов операторным методом удобно составить предварительнооператорную схему. В каждой ветви с параметрами R, L, C должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС Li(0) и u_C(0)/p. На рис. 4.26 показаны переходы от элементов с мгновенными значениями токов и напряжений к элементам операторной схемы.

4.3.4. Порядок расчета переходных процессов операторным методом

1. Анализ независимых начальных условий (для этого необходимо рассчитать режим в t = 0^–).

2. Составление эквивалентной операторной схемы.

3. Расчет операторной схемы любым расчетным методом в операторной форме, привести изображение X(p) искомой величины к виду рациональной дроби.

4. Определение оригинала x(t) поX(p), т.е. обратный переход.

4.3.5. Нахождение оригинала по изображению

При расчете переходных процессов операторным методом необходимо не только находить изображение функций, их производных и интегралов, но и решать обратную задачу – находить функции (оригиналы) по их изображениям. Существуют следующие способы решения этой проблемы:

1. Использование обратного преобразования Лапласа

, (4.35)

которое представляет собой решение интегрального уравнения (4.27) относительно неизвестной функции f(t) и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (4.35) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменногоp, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функцииF(p). Такой способ в прикладных задачах электротехники не используется.

2. Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций к табличному виду.

3. Использование теоремы о вычетах или теоремы разложения.

Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирхгофа, описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторного изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал.

Теорема разложения имеет две модификации в зависимости от операторного изображения искомой величины:

1) _=^ , (4.31)

где n – порядок цепи,

p_i – простые корни характеристического уравнения N(p) = 0;

.

2) _=^ , (4.32)

где p_i – корни характеристического уравнения F₃(p) = 0.

В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (4.32) соответствует сигналам, имеющим принужденную составляющую.

Если уравнение F₂(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни и, то достаточно вычислить слагаемое сумм (4.31) или (4.32) только для корня, а для корнявзять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е.

_=^(4.33)

или

_=^ . (4.34)

Если среди корней многочлена F₂(p) = 0 есть q простых корней (p₁, p₂, …, p_q), корень p_r кратности r и корень p_s кратности s, то можно записать теорему разложения с двойной суммой в правой части (одна сумма – по числу корней, а вторая – для каждого корня по порядку его кратности):

_=^ 

(4.35)

Если нужно вычислить начальное (при t = 0⁺) и установившееся (при t = ) значения оригинала, т.е. f(0⁺) и f(), то можно воспользоваться формулами (4.31) и (4.32). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, если установившийся процесс непериодический, определяются достаточно просто по так называемым предельным соотношениям:

(4.36)

и

. (4.37)

Рассмотрим специфические особенности применения метода.

Пример 1. Рассмотрим заряд конденсатора при подключении RC–цепи на постоянное напряжение (рис. 4.26, а). Определим закон изменения в переходном режиме.

Цепь с нулевыми начальными условиями. Соответствующая операторная схема замещения представлена на рис. 4.26, б.

Операторное изображение напряжения на конденсаторе определим по закону Ома:

Изображение тока в операторной схеме замещения

Для отысканиявоспользуемся теоремой разложения:

_=^ .

Используя предельные соотношения, определим соответственно начальное и установившееся значения напряжения на конденсаторе:

Аналогичные значения будут получены по формуле, описывающей закон изменения в переходном режиме

и

.

Пример 2. Найти напряжение на емкости в цепи (рис. 4.27), подключенной к источнику постоянного напряжения U = 4 B. Параметры элементов электрической цепи приведены на рисунке.

1. Анализ независимых начальных условий (докоммутационный режим)

2. Эквивалентная операторнаясхема представлена на рис. 4.29.

Операторные сопротивления:

Операторные ЭДС:

3. Расчет эквивалентной операторной схемы методом узловых потенциалов:

.

После необходимых преобразований получим

.

4. Для отыскания воспользуемся теоремой разложения:

_=^ ,

здесь ,

,

Таким образом,

.

Окончательно

.