4.3.6. Расчет свободных составляющих операторным методом

В тех случаях, когда изображение искомой величины может получиться громоздким (например, при наличии в цепи источников гармонических напряжений), имеет смысл применять операторный метод только для определения свободных составляющих переходного процесса. Для этого при составлении эквивалентной операторной схемы для свободных составляющих следует придерживаться следующих рекомендаций. Необходимо

– удалить источники питания (источники напряжения замкнуть накоротко, ветви с источниками тока разомкнуть);

– операторные ЭДС в индуктивности и емкости должны определяться начальными значениями только свободных составляющих и, т.е. операторная ЭДС в индуктивности равна, а в емкости, где.

Проиллюстрируем эту идею на предыдущем примере, для чего сначала определим принужденные составляющиеи(рис. 4.30):

,

,

Эквивалентная операторная схема для свободных составляющих представлена на рис. 4.31.

После преобразований получим

Воспользуемся теоремой разложения

_=^ 

.

4.4. Метод пространства состояний

В основе метода пространства состояний лежит схемное эквивалентирование рассмотренного ранее алгоритма расчета переходных процессов классическим методом, придающее процедуре отыскания начальных условий наглядность и сводящееся к расчету резистивных цепей с источниками постоянных воздействий.

В исходной цепи выделяются источники воздействий V₁, V₂ … V_K и все независимые накопители энергии: индуктивности L₁, L₂ … L_q и емкости C₁, C₂ … C_m (рис. 4.29). Пусть цепь имеет q независимых индуктивностей и m независимых емкостей. Остальная часть цепи, содержащая только резисторы, условно изображается в виде многополюсника. Для определения начальных значений токов и напряжений изображается расчетная резистивная цепь, характеризующая распределение токов и напряжений в момент начала переходного процесса t = 0⁺ (рис. 4.30). В этой цепи индуктивности заменяют содействующими источниками тока с задающими токами, равными , емкости – противодействующими источниками напряжения с задающими ЭДС, равными, определяемыми независимыми начальными условиями с помощью докоммутационной цепи.

С помощью полученной вспомогательной цепи, применив любой известный расчетный метод, определяют величины искомых выходных сигналов в момент t = 0⁺.

Для определения величин производных от выходных сигналов в момент t = 0⁺ с помощью цепи (рис. 4.30) определяют величины и, рассчитави. Далее строится расчетная вспомогательная цепь, эквивалентирующая первое дифференцирование уравнений состояния. Токи и напряжения в данной цепи (рис. 4.31), по существу, составляют производные от этих величин в момент t = 0⁺.

Далее процедура расчета продолжается аналогично описанной до получения начальных значений высших производных. Исходной информацией для построения каждойi-последующей вспомогательной цепи служат значения i-производной напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, определяемых через значения (i – 1)-производной соответствующих токов в емкостях и напряжений на индуктивностях. В соответствии с соотношениями

(4.38)

Следует отметить, что для неизменных во времени воздействий во всех вспомогательных подсхемах, начиная со схемы, соответствующей первым производным сигналов (рис. 4.31), источники напряжения заменяются короткозамкнутыми участками , а ветви с источниками тока размыкаются.

Это замечание справедливо и для источников, которые замещают реактивные элементы при нулевых начальных условиях (и).

Описанный способ определения начальных значений выходных сигналов и их производных легко формализуется и может быть автоматизирован, что делает его более привлекательным в сравнении с традиционным.

Рассмотренные резистивные схемы замещения могут быть применены при расчете переходных процессов не только классическим методом, но и достаточно популярным сейчас методом пространства состояний. Преимуществом данного метода является возможность его полной автоматизации.

В основе алгоритма расчета лежит рекуррентное соотношение, полученное в результате анализа уравнений состояния электрической цепи, которые в матричной форме имеют вид

(4.39)

(4.40)

где – матрицы – столбцы переменных состояния и их производных размерностиn1, где n – порядок цепи;

V – матрица – столбец входных функций размерности m1, где m – число входных функций;

Y – матрица – столбец выходных величин размерностью l1, где l – число выходных величин;

A, B, C, D – матрицы связи, размерности которых соответственно (nn), (nm), (ln), (lm).

Как известно, переменными состояния называют величины, число которых определяется порядком электрической цепи и значения которых достаточно для однозначного описания цепи в целом. Поскольку ток индуктивностей и напряжение на емкостях следует рассматривать как главные переменные, характеризующие состояние цепи, именно их и целесообразно выбирать в качестве переменных пространства состояния. Интегрирование дифференциальных уравнений из системы (4.39) с целью определения переменных состояния и нахождения выходных величин путем решения алгебраических уравнений (4.40) может выполняться различными методами. Это – аналитическое решение, как в области оригиналов, так и в области изображений по Лапласу, а также аналоговое и цифровое моделирование с привлечением вычислительной техники. Цифровое моделирование, являющееся наиболее предпочтительным особенно для систем высокого порядка, основано на численном интегрировании с применением метода Эйлера, которое предполагает квантование интеграла интегрирование на одинаковые отрезки (шаг интегрирования) и замену операции дифференцирования отношением конечных разностей.

В результате, на основе (4.39) получают рекуррентное соотношение

, (4.41)

где n – текущий шаг квантования;

–шаг интегрирования;

Х_n – значения переменной состояния на n-ом шаге;

V_n – значения входного сигнала на n-ом шаге;

А, В – матрицы связи.

Нахождение коэффициентов матриц связи А и В возможно путем записи полной системы уравнений Кирхгофа и преобразования их к совокупности n дифференциальных уравнений первого порядка в форме (4.39) относительно токов индуктивностей и напряжений на емкостях. Точно так же совокупность l алгебраических уравнений Кирхгофа, выражающих в форме (4.40) выходные величины, определяют коэффициенты матриц С и D. Однако возможно применение стандартной процедуры построения матриц связи, не требующей предварительного составления уравнений Кирхгофа. Основанием для этого служит то обстоятельство, что элементы матриц A, B, C, D являются псевдопередаточными коэффициентами вспомогательных резистивных цепей.

Для рассматриваемой цепи (рис. 4.29), содержащей q индуктивностей и m емкостей, система уравнений (4.39) запишется в следующем виде (4.42).

Объединим уравнения (4.42) и уравнения (4.40), принимая во внимание (4.38) и учитывая, что q + m = n. При этом введем расширенную матрицу реакций, в которую войдут нормированные напряжения индуктивностей , нормированные токи емкостейи выходные величиныY_p, часть которых может быть токами, а часть – напряжениями.

(4.42)

С целью нахождения коэффициентов матриц связи запишем для момента t = 0⁺ эту объединенную совокупность алгебраических уравнений в матричной форме

(4.43)

.

Если в уравнении (4.43) попеременно помечать все начальные значения равными нулю, кроме одного, приравниваемого единице, значения элементов расширенной матрицысовпадут с элементами соответствующего столбца матрицA и C либо B и D. Данное утверждение формирует алгоритм определения искомых матриц, основанный на принципе суперпозиции.

В исходной цепи (рис. 4.29) выделяются источники воздействия, индуктивности и емкости, затем образуется расчетная резистивная цепь, в которой удалены все источники воздействия (источники ЭДС замыкают накоротко, ветви с источниками тока размыкают), оборваны ветви, содержащие индуктивности и замкнуты накоротко емкости.

Эта цепь рассчитывается по методу наложения. Сначала единичный источник тока включают поочередно q раз вместо каждой индуктивности, далее единичный источник напряжения включают поочередно m раз вместо каждой емкости. И, наконец, единичные источники напряжения и тока включаются поочередно k раз в ветви, где были расположены источники соответствующих воздействий V_i. при расчете каждой из таких вспомогательных схем определяются значения напряжений , токов и выходных величин Y_p, которые удобно записывать в виде таблицы 4.1, содержащей искомые значения элементов матриц.

Таблица 4.1

Пример. Проиллюстрируем предлагаемую методику на примере цепи второго порядка (рис. 4.20).

Матричная схема уравнений в переменных состояния для произвольной цепиимеет вид

Для рассматриваемого примера матричная система уравнений принимает следующий вид

Рассмотрим два способа получения матриц связи.

1. Получение коэффициентов матриц А, В, С, D с помощью составления системы уравнений Кирхгофа:

или в дифференциальной форме:

Произведя необходимые преобразования и подстановки, получим

Выразим из полученной системы уравнений искомые коэффициенты матриц связи:

2. Получение коэффициентов матриц А, В, С, D с помощью канонической процедуры. В процессе решения заполняется таблица:

Таблица 4.2

Реакция	Воздействия
	iL	UC	E	J
iL	-R2/L	-1/L	0	R2/L
UC	1/C	-1/(R1C)	-1/(R1C)	0
i1	0	-1/R1	1/R1	0

Искомые коэффициенты определяются в результате рассмотрения вспомогательных резистивных цепей (рис 8 – 11):

а) U_J = -u_L = JR₂ = R₂

i_L = u_L /L , следовательно, i_L =

= - R₂ /L = а₁₁ ;

б) i_C = J_L = 1 = C_Uc’, следовательно,

u_c = 1/C = a₂₁ ;

в) i₁ = 0 , следовательно, C₁ = 0 .

Рис. 8

a) u_L = - E_C = -1 , следовательно,

i_L = - 1/L = b₁₂ ;

б) i_C= -E_C/R₁ = -1/R₁ , следовательно,

u_C = -1/R₁C = b₂₂ ;

в) u_C = E_C = 1, следовательно,

i₁ = -E_C/R₁ = -1/R₁ = C₂ ;

Рис. 9

a) i₁ = E/R₁ = 1/R₁ = d₁ ;

б) u_L = 0, следовательно, i_L =0= b₁₁ ;

в) i_C = E/R₁ = 1/R₁ , следовательно,

b₂₁ = u_C = 1/R₁C .

Рис. 10

a) i₁=0, следовательно, d₂=0 ;

б) i_C=0, следовательно,

u_C=0=b₂₂ ;

в) u_L=JR₂=R₂ , следовательно,

i_L=R₂/L , и, b₁₂ = R₂/L .

Рис. 11

Как мы убедились, предлагаемая технология отличается наглядностью и сводится к привычному расчету цепей с источниками постоянных воздействий.