6. Гетероскедастичность остатков

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Для использования метода наименьших квадратов при построении уравнения регрессии необходимо выполнение ряда предпосылок. Остатки уравнения регрессии некоторым свойствам, одним из которых является гомоскедастичность – постоянство дисперсии остатков для всех значений фактора x. Если дисперсия остатков непостоянна, то они являются гетероскедастичными.

Существуют различные тесты на проверку гетероскедастичности остатков: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Уайта, тест Голдфелда-Квандта и др.

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться тест Голдфелда-Квандта, который заключается в следующем.

1. Упорядочить наблюдения по мере возрастания фактора x.

2. Разделить данные примерно на 3 равные группы, при этом в первой и третьей группе должно быть одинаковое количество наблюдений n₁.

3. По первой и третьей группе рассчитать уравнение регрессии и определить остаточную сумму квадратов (для первой группы) и (для третьей группы).

4. Найти отношение большего значения остаточной суммы квадратов на меньшее: , если , или , если , и сравнить с F_кр при уровне значимости 0,05 и степенях свободы , .

Чем больше величина F превышает табличное значение F_кр, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остатков регрессии.

Пример 6. Проверить остатки на гетероскедастичность по критерию Голдфелда-Квандта, используя данные таблицы 6.1.

Таблица 6.1

x	y
1	1
2	1
3	6
4	4
5	11
6	7
7	16
8	10
9	21
10	13
11	26
12	16
13	31
14	19

Решение.

Как видно из таблицы 6.1, данные упорядочены по возрастанию фактора x. Разделим их на три группы 5, 4 и 5 наблюдений и рассчитаем сумму квадратов остатков по 1-й и 3-й группе. Результаты расчетов приведены в таблицах 6.2 и 6.3.

Таблица 6.2

1-я группа наблюдений

i	x	y	xy	x2	y2		e	e2
1	1	1	1	1	1	0	1	1
2	2	1	2	4	1	2,3	-1,3	1,69
3	3	6	18	9	36	4,6	1,4	1,96
4	4	4	16	16	16	6,9	-2,9	8,41
5	5	11	55	25	121	9,2	1,8	3,24
сумма	15	23	92	55	175			16,3
среднее	3	4,6	18,4	11	35

,

Уравнение регрессии: .

Таблица 6.3

3-я группа наблюдений

i	x	y	xy	x2	y2		e	e2
10	10	13	130	100	169	17,6	-4,6	21,16
11	11	26	286	121	676	19,3	6,7	44,89
12	12	16	192	144	256	21	-5	25
13	13	31	403	169	961	22,7	8,3	68,89
14	14	19	266	196	361	24,4	-5,4	29,16
сумма	60	105	1277	730	2423			189,1
среднее	12	21	255,4	146	484,6

,

Уравнение регрессии: .

Разделим большую сумму квадратов остатков на меньшую и получим расчетное значение F-критерия:

Критическое значение F найдем для уровня значимости 0,05 и степеней свободы , : F_кр = 9,28. Т.к. F_расч > F_кр, то с вероятностью 5% можно предположить наличие гетероскедастичности остатков.

Ответ: остатки гетероскедастичны.

26