5. Моделирование взаимосвязи временных рядов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Построение регрессии на временных рядах является одной из самых сложных задач эконометрического моделирования. Наличие сезонных колебаний и тенденции в уровнях одного или обоих рядов приводит к искажению истинного значения коэффициента корреляции. Поэтому прежде чем искать зависимость между временными рядами, следует исключить сезонность в уровнях каждого ряда (метод рассмотрен в главе 4) и также исключить влияние тенденции. Наличие тенденции в уровнях временных рядов приводит к ложной регрессии: неоправданно завышенному показателю тесноты связи при возможном отсутствии причинно-следственной зависимости. Таким образом, перед тем как искать зависимость между временными рядами x_t и y_t, необходимо изучить структуру каждого из них. Рассмотрим несколько возможных ситуаций.

Предположим, что изучение временных рядов x_t и y_t показало наличие линейной тенденции в каждом из них, т.е. x_t = T + E и y_t = T + E. В этом случае применяют методы, основанные на преобразовании уровней исходных рядов в новые, не содержащие тенденции: метод последовательных разностей, метод отклонений от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в том, что вместо исходных значений временных рядов изучают ряды, составленные по первым разностям:

(5.1)

где .

Тенденция в форме параболы в исходных уровнях рядов x_t и y_t устраняется путем нахождения вторых разностей:

, (5.2)

где .

Удовлетворительное качество модели вида (5.1) при наличии линейного тренда в исходных уровнях рядов и модели вида (5.2) в случае параболического тренда будет свидетельствовать о присутствии связи между показателями.

Если ряд y_t содержит линейную тенденцию, а ряд x_t состоит только из случайных колебаний, то эффективным методом является метод включения в модель фактора времени:

. (5.3)

Следует помнить, что уравнение вида (5.3) является моделью множественной регрессии, поэтому так важно отсутствие линейной тенденции в уровнях ряда x_t, что гарантирует отсутствие мультиколлинеарности.

В случае отсутствия тенденции в уровнях рядов x_t и y_t построение уравнения

(5.4)

может привести к удовлетворительному результату.

Регрессионные модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом. Включение лаговых переменных часто является целесообразным, т.к. значение результативного признака в текущий момент времени t может формироваться под воздействием факторов в прошлые моменты времени , и т.д. Частным случаем такой модели является уравнение с включенной в его состав переменной x_t-1:

. (5.5)

При изучении качества уравнения регрессии используются коэффициент корреляции, детерминации, t- и F-статистики, обязательна проверка остатков регрессии на наличие гетероскедастичности и автокорреляции.

Пример 5.1. Используя годовые данные за 10 лет, приведенные в таблице 5.1, построить модель зависимости расходов на конечное потребление (д.е.) от совокупного дохода (д.е.). Рассчитать прогноз расходов на конечное потребление, если объем совокупного дохода планируется в размере 43 д.е.

Таблица 5.1

Год	Расходы на конечное потребление, д.е.	Совокупный доход, д.е.
t	yt	xt
1	6	13
2	8	16
3	9	18
4	11	21
5	12	24
6	14	28
7	16	32
8	16	34
9	18	37
10	19	39

Решение.

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции первого порядка для уровней каждого ряда: , . Высокие значения коэффициентов говорят о наличии линейной тенденции в уровнях каждого ряда. Для устранения влияния тенденции используем метод нахождения последовательных разностей. Для этого сформируем таблицу 5.2.

Таблица 5.2

t	yt	xt	yt	xt
1	6	13	–	–
2	8	16	2	3
3	9	18	1	2
4	11	21	2	3
5	12	24	1	3
6	14	28	2	4
7	16	32	2	4
8	16	34	0	2
9	18	37	2	3
10	19	39	1	2

Построим уравнение регрессии по первым разностям уровней временных рядов:

Построенное уравнение имеет удовлетворительное качество, является адекватным, автокорреляция в остатках отсутствует. Причем при неизменном уровне совокупного дохода расходы на конечное потребление снижаются ежегодно на 0,59 д.е., а увеличение совокупного дохода на 1 д.е. приводит к дополнительному росту расходов на конечное потребление на 0,7 д.е.

Рассчитаем прогноз:

д.е.

д.е.

д.е.

Ожидаемый объем расходов на конечное потребление равен 21,22 д.е.

Пример 5.2. Изучается зависимость себестоимости продукции от объема ее производства. По данным за 16 лет (табл. 5.3) построить уравнение регрессии и рассчитать прогноз на 17 год, если планируемы объем производства составляет 45,2 тыс. шт.

Таблица 5.3

Год	Объем производства, тыс. шт.	Себестоимость, тыс. д.е.
t	xt	yt
1	21,6	142,2
2	11,1	142,7
3	32	134,6
4	72,9	123,9
5	28,4	142,7
6	31,5	145,4
7	58,5	131
8	42,8	144,7
9	2,4	168,3
10	27,1	149
11	48,4	152
12	61,1	148,3
13	22,6	173,5
14	8,9	172
15	20,5	175,9
16	33,3	162,5

Решение.

Коэффициент автокорреляции первого порядка для уровней ряда x_t равен , что говорит об отсутствии линейной тенденции в уровнях ряда. Высокое значение коэффициента свидетельствует о наличии линейной тенденции в уровнях ряда y_t. В такой ситуации удобно включить в модель фактор времени t. Уравнение построим при помощи электронных таблиц Excel. Получим:

Все характеристики модели оказались удовлетворительными, что свидетельствует о правильном выборе формы связи. Следует отметить, что себестоимость продукции ежегодно растет на 2,4 тыс. д.е. при неизменном объеме производства. Если же объем производства продукции увеличится на 1 тыс. шт., то себестоимость продукции снизится на 460 д.е.

Рассчитаем прогноз: тыс. д.е.

Итак, прогнозируемая себестоимость на 17 год составляет 165 тыс. 300 д.е.

Пример 5.3. По данным за 15 месяцев (табл. 5.4) построить модель зависимости объема продаж некоторого товара от расходов на рекламу. Найти прогноз объема продаж за 16 месяц, если в рекламу предполагается вложить 60 тыс. д.е.

Таблица 5.4

Месяц	Объем продаж (тыс. д.е.)	Расходы на рекламу (тыс. д.е.)
t	yt	xt
1	75,6	89
2	80	69,6
3	63,5	75,9
4	63,1	90,5
5	66,6	97,9
6	89,7	84,9
7	74,5	90,5
8	80,9	89,5
9	86	80,8
10	74,8	81,1
11	66,4	91,5
12	78,2	85,5
13	67,4	70,1
14	56,5	89,7
15	86,6	85,3

Решение.

Коэффициенты автокорреляции первого порядка и говорят об отсутствии линейной тенденции, поэтому можно построить уравнение регрессии по уровням временных рядов. В результате получим:

Полученная модель имеет низкое качество, неадекватна и не соответствует экономической теории. Вспомним, что расходы на рекламу приводят к изменению прибыли не сразу, а через некоторое время, поэтому попробуем добавить в уравнение регрессии лаговую переменную x_t-1.

Таблица 5.5

t	yt	xt	xt-1
1	75,6	89	–
2	80	69,6	89
3	63,5	75,9	69,6
4	63,1	90,5	75,9
5	66,6	97,9	90,5
6	89,7	84,9	97,9
7	74,5	90,5	84,9
8	80,9	89,5	90,5
9	86	80,8	89,5
10	74,8	81,1	80,8
11	66,4	91,5	81,1
12	78,2	85,5	91,5
13	67,4	70,1	85,5
14	56,5	89,7	70,1
15	86,6	85,3	89,7

По данным таблицы 5.5 рассчитаем модель с распределенным лагом:

Добавление лаговой переменной x_t-1 значительно улучшило характеристики модели, однако фактор x_t остался статистически незначимым, что говорит об отсутствии его влияния на результат y_t. Из построенной модели следует исключить эту переменную и построить зависимость y_t от x_t-1:

Итак, мы получили модель хорошего качества, в которой фактор x_t-1 значимо влияет на результат y_t. Коэффициент Дарбина-Уотсона говорит об отсутствии автокорреляции остатков. Причем увеличение расходов на рекламу на 1 тыс. д.е. приводит к увеличению объема продаж на 1 тыс. 10 д.е. в следующем месяце.

Рассчитаем прогноз объема продаж на 16 месяц, учитывая, что расходы на рекламу за 15 месяц составили 85,3 тыс. д.е.: тыс. д.е. Таким образом, объем продаж за 16 месяц должен составить 74 тыс. 400 д.е.