3. Модель множествнной линейной регрессии

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Уравнением множественной линейной регрессии называется уравнение вида

, (3.1)

где b₀, b₁, b₂, …, b_m – оценки параметров уравнения регрессии.

Параметры уравнения (3.1) оценивают при помощи МНК. Для линейного уравнения множественной регрессии их можно найти, построив систему нормальных уравнений (3.2).

(3.2)

Решив систему (3.2), получим значения коэффициентов уравнения (3.1). Для n наблюдений уравнение (3.1) можно записать также в матричной форме

, (3.3)

где , , , .

Тогда матрицу коэффициентов В можно рассчитать по формуле

, (3.4)

где – матрица, транспонированная к X.

Статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивают на основе расчета t-статистик:

, , , (3.5)

где – стандартная ошибка уравнения регрессии, – j-й диагональный элемент матрицы , – стандартная ошибка коэффициента .

Качество уравнения регрессии проверяют на основе расчета коэффициента множественной детерминации:

. (3.6)

Коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов факторы, включенные в модель регрессии, объясняют вариацию результативного фактора y.

Значимость (адекватность) уравнения регрессии в целом проверяется с помощью F-статистики Фишера:

. (3.7)

Построенная модель считается адекватной, если расчетное значение . Значение – критическая точка распределения Фишера для уровня значимости  и числа степеней свободы df₁ = m, df₂ = n – m – 1, где m – число независимых переменных, n – число наблюдений.

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности, т.е. тесной линейной зависимости, независимых факторов. Считается, что переменные x_i и x_j явно коллинеарны, если частный коэффициент линейной корреляции . Этот коэффициент легко найти, используя формулу (1.3). Простейшим способом устранения мультиколлинеарности является включение в модель только тех факторов, которые довольно сильно влияют на результирующий признак и имеют наименьшую тесноту связи между собой.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле:

. (3.8)

Для построения уравнения множественной регрессии можно также использовать линеаризуемые функции:

• степенная – ,

• экспоненциальная – ,

• гиперболическая – .

Пример 3. По 16 предприятиям региона (табл. 3.1) изучается зависимость прибыли y (тыс. руб.) от объема продажи товаров x₁ (тыс. шт.) и себестоимости x₂ (руб.).

Таблица 3.1

Номер предприятия	Прибыль	Объем продаж	Себестоимость
i	y	x1	x2
1	209	11,6	146
2	304	14,5	98
3	303	15,4	145
4	338	17,9	140
5	392	19,5	122
6	351	21,3	150
7	467	25	112
8	460	28	129
9	478	30	130
10	507	39	142
11	540	22,5	104
12	559	21,5	122
13	570	38	104
14	635	40	102
15	679	44	100
16	700	45	96

1. Проанализировать коэффициенты парной линейной корреляции.

2. Составить уравнение линейной регрессии зависимости прибыли от объема продаж и себестоимости продукции.

3. Оценить статистическую значимость коэффициентов уравнения.

4. Оценить качество и статистическую значимость построенного уравнения. Найти среднюю ошибку аппроксимации.

5. Рассчитать коэффициенты эластичности и сравнить на их основе силу влияния каждого фактора на результативный показатель.

6. Рассчитать прогноз прибыли, если планируемые значения объема продаж и себестоимости составят 90% от среднего уровня.

Решение.

Рассчитаем коэффициент парной линейной корреляции между факторами х₁ и х₂. Для этого составим рабочую таблицу (табл. 3.2).

Таблица 3.2

i	x1	x2	x1x2
1	11,6	146	1693,6
2	14,5	98	1421
3	15,4	145	2233
4	17,9	140	2506
5	19,5	122	2379
6	21,3	150	3195
7	25	112	2800
8	28	129	3612
9	30	130	3900
10	39	142	5538
11	22,5	104	2340
12	21,5	122	2623
13	38	104	3952
14	40	102	4080
15	44	100	4400
16	45	96	4320
Сумма	433,2	1942	50992,6
Среднее	27,08	121,38	3187,04
σ	10,64	18,71

Используя формулу (1.3) и данные таблицы 3.2, получим

,

что говорит о слабой линейной зависимости между факторами x₁ и x₂.

Аналогично рассчитаем коэффициенты парной корреляции , . Значит между факторами х₁ и y наблюдается тесная, а между факторами x₂ и y умеренная линейная зависимость.

Найдем коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии, используя формулу (3.4):

,

,

,

.

Итак, мы получили уравнение регрессии: . Значит при увеличении объема продаж товаров на 1 тыс. шт. прибыль предприятия должна увеличиться в среднем на 9,67 тыс. руб. при неизменном уровне себестоимости. Если себестоимость продукции увеличится на 1 руб. при неизменности объема продаж, прибыль уменьшится на 2,26 тыс. руб.

Рассчитаем t-статистики для коэффициентов построенного уравнения.

Таблица 3.3

i	y	x1	x2		e	e2	А
1	209	11,6	146	262,95	-53,95	2910,276	25,81%
2	304	14,5	98	399,59	-95,59	9137,681	31,44%
3	303	15,4	145	301,94	1,06	1,121866	0,35%
4	338	17,9	140	337,42	0,58	0,336613	0,17%
5	392	19,5	122	393,62	-1,62	2,609094	0,41%
6	351	21,3	150	347,66	3,34	11,17676	0,95%
7	467	25	112	469,41	-2,41	5,79029	0,52%
8	460	28	129	459,94	0,06	0,0039	0,01%
9	478	30	130	477,01	0,99	0,986183	0,21%
10	507	39	142	536,85	-29,85	890,929	5,89%
11	540	22,5	104	463,34	76,66	5876,261	14,20%
12	559	21,5	122	412,95	146,05	21331,36	26,13%
13	570	38	104	613,17	-43,17	1863,421	7,57%
14	635	40	102	637,03	-2,03	4,100747	0,32%
15	679	44	100	680,21	-1,21	1,475858	0,18%
16	700	45	96	698,93	1,07	1,140679	0,15%
Сумма	7492	433,2	1942	7492	0,00	42038,67	114,31%
Среднее	468,25	27,08	121,38	468,25			7,14%
σ	139,05	10,64	18,71

Стандартная ошибка уравнения регрессии (см. табл. 3.3):

.

Стандартные ошибки коэффициентов уравнения:

,

,

.

t-статистики коэффициентов уравнения:

; ; .

Для уровня значимости 0,05 и 13 степеней свободы t_кр = 2,16. Все расчетные t-статистики оказались удовлетворительными, т.к. они по абсолютной величине больше t_кр.

Рассчитаем коэффициент детерминации (табл. 3.3):

.

Факторы, включенные в модель, на 86% объясняют изменение прибыли предприятия.

Модель является адекватной, т.к. больше F_кр = 3,81, найденного для  = 0,05, df₁ = 2, df₂ = 13.

Средняя ошибка аппроксимации (табл. 3.3) равна:

,

что говорит о хорошем качестве подбора модели.

Коэффициенты эластичности:

, .

Увеличение объема продаж на 1% приводит к увеличению прибыли предприятия на 0,56%. Увеличение себестоимости единицы продукции на 1% приведет к снижению прибыли на 0,59%. Таким образом, более сильное влияние на прибыль оказывает изменение себестоимости.

Рассчитаем прогноз прибыли:

, ,

тыс. руб.

Итак, если объем продаж будет составлять 24,37 тыс. шт., а себестоимость – 109,24 руб., то прибыль должна оказаться на уровне 469,54 тыс. руб.