2. Нелинейная регрессия

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Линейные регрессионные модели очень удобны при построении и просты в своей интерпретации. Однако далеко не все зависимости между экономическими показателями можно описать при помощи линейных моделей. Мы рассмотрим класс нелинейных моделей, которые можно привести к линейному виду путём эквивалентных преобразований (чаще всего при помощи логарифмирования и замены переменных).

Полулогарифмической называется функция вида:

, (2.1)

которая является линейной относительно переменных y и ln x. Значит для построения уравнения регрессии, задаваемого полулогарифмической функцией нужно воспользоваться исходными значениями фактора y и прологарифмировать значения фактора x. Коэффициент b в этом уравнении имеет смысл коэффициента полуэластичности. Он показывает абсолютный прирост фактора y при относительном увеличении значения фактора x на 1%. Действительно, производная функции, задаваемой уравнением (2.1) равна , откуда имеем . Числитель полученной дроби имеет смысл абсолютного приращения, а знаменатель – относительного.

Уравнение регрессии, задаваемое экспоненциальной (или показательной) функцией

(2.2)

приводится к линейному виду путем логарифмирования правой и левой части. В результате чего получается уравнение

, (2.3)

линейное относительно и x. Коэффициент b также имеет смысл коэффициента полуэластичности. Он показывает, на сколько процентов изменится результативный фактор y при увеличении значения фактора x на 1. Это утверждение можно доказать с помощью нахождения производной функции (2.2): . Отсюда .

Уравнение регрессии, задаваемое степенной функцией

(2.4)

после логарифмирования принимает вид

, (2.5)

линейный относительно и . Причем коэффициент b является коэффициентом эластичности, который показывает относительное изменение фактора y при увеличении значения фактора x на 1%.

Гипербола имеет вид

(2.6)

и является линейной относительно переменных y и . Построение уравнения гиперболы предполагает вместо фактора x при расчетах использовать значения .

Полином 2-й степени или парабола имеет вид

(2.7)

и является линейной относительно двух переменных x и x². Фактически уравнение параболы (2.7) содержит одну независимую переменную, а формально для проведения расчетов предполагается использовать данные для значений двух факторов . Поэтому при построении уравнения вида (2.7) используют формулы расчета характеристик уравнения множественной линейной регрессии.

Расчет некоторых характеристик нелинейных регрессионных моделей имеет некоторые отличия от линейных. Коэффициент детерминации, например, удобно рассчитывать по формуле (2.8).

, (2.8)

где – дисперсия результативного признака y, – остаточная дисперсия.