Раздел 5 Средние величины и показатели вариации.
5.1 Средняя величина («х») – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной продукции. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая.
Общая формула степенной средней (при различных значениях) :
(5.1)
– среднее
значение исследуемого явления;
m – показатель средней степени;
-
текущее значение вариант усредняемого
признака;
n – число признаков.
при:
m=-1
– средняя гармоническая
;
m=0
– средняя геометрическая
;
m=1
– средняя арифметическая
;
m=2
– средняя квадратическая
;
m=3
– средняя кубическая
.
при использовании одних и тех же данных правило машорантности
(5.2)
5.2 Средняя арифметическая простоя:
(5.3)
где: - индивидуальные значения варьирующего признака;
n – число единиц;
5.3 Средняя арифметическая взвешенная:
=
(5.4)
где:
– веса (частоты повторения одинаковых
признаков);
-
сумма произведений величины признаков
на их частоты;
-
общая численность единиц совокупности.
5.4 Основные свойства средней арифметической
5.4.1 Свойство 1 – если все индивидуальные значения признака уменьшить и увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.
5.4.2 Свойство 2: - если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.
5.4.3 Свойство 3 – если веса (f) всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в «К» раз, то средняя арифметическая не изменится.
5.4.4
Способ
моментов
-
(5.5)
где:
(5.6)
5.5 Средняя гармоническая - это производная от средней арифметической
в случае отсутствия частот в исходных данных при наличии синтетического показателя Wi, представляющего как : Wi=xi*fi
Тогда:
(5.7)
5.6 Средняя геометрическая – индивидуальные значения признака предоставлены относительными величинами динамики и исчисляется как:
(5.8)
n – число вариантов; П – знак произведения.
5.7 Средняя квадратическая
5.7.1
Простая:
(5.9)
5.7.2
Взвешенная:
(5.10)
где f – веса.
5.8 Средняя кубическая:
5.8.1
Простая:
(5.11)
5.8.2
Взвешенная:
(5.12)
Раздел 6 Структурные средние (внутренние строение и структура ряда).
6.1 Мода (Мо) - значение случайной величины, встречающееся с н6аибольшей частотою.
6.1.2 Мода в интервальных рядах распределение с равными интервалами
(6.1)
Хмо – нижняя граница модального интервала;
Imo – величина модального интервала;
fmo, fmo-1, fmo+1 – частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальных интервалах;
Модальный интервал находится по наибольшей частоте.
6.2 Медиана (Ме) – вариант, находящийся в середине вариационного ряда (делит раншированный вариационный ряд на две равные части)
6.2.1 Медиана для нечетного числа вариант – серединная варианта
6.2.2 Медиана для четного числа вариант – среднее значение двух серединных вариант
6.2.3 Медиана в интервальном ряду распределения :
(6.2)
где: Ме – нижняя граница медианного интервала;
Iме – величина медианного интервала;
-
полусумма частот ряда;
Sме-1 – накопленная сумма частот до медиального интервала;
Fме – частота медиального интервала.
Накопленная
частота медианного интервала
.
6.2.4 Квартели – деление совокупности по четыре равные части
6.2.6 Квинтели – деление совокупности на пять равных частей
6.2.6 Дицели – деление совокупности на десять равных частей
6.2.7 Перецентели – деление совокупности на сто равных частей