1.2 Задача о взаиморасчетах как исходная модель технологии бухгалтерского учета

В настоящем разделе рассматривается задача взаиморасчетах, на примере которой строится матричная модель прототипа бухгалтерского учета, основанного на методе двойной записи. На этой основе естественным образом вводятся фундаментальные понятия бухгалтерского учета (понятие счета, дебета и кредита, корреспонденции счетов и бухгалтерской проводки, сальдо и оборотов по счетам), а также рассматриваются основные учетные регистры и бухгалтерские отчеты, используемые в бухгалтерском учете: журнал операций, главная книга, шахматный баланс, оборотно-сальдовый баланс.

Для этой цели используются элементарные понятия и операции матричной алгебры, адаптированные к решению задач бухгалтерского учета и формирования бухгалтерской отчетности (см. Математическое приложение к настоящему учебнику). Такой подход к изложению материала формирует представление о технологии бухгалтерского учета, не зависящее от того видимого многообразия учетных процедур, которые используются в практике бухгалтерского учета.

При этом одновременно формируется понимание того, что любые учетные процедуры по формированию бухгалтерской отчетности, включая и технику классической двойной записи с использованием Т – счетов, есть ни что иное, как еще один из способов решения матричных уравнений бухгалтерского учета.

Представим себе трех участников А, В и С некой игры, результатом которой является денежный выигрыш (проигрыш). Игра парная, т. е. игры могут вестись между любыми парами участников А и В, А и С, В и С.

Пусть в результате этой игры каждый из них оказался должен друг другу определенные суммы денег и есть некто (назовем его бухгалтер), который регистрирует возникающие обязательства в течение определенного периода (например, месяца) в порядке их возникновения по датам внутри месяца, т. е. в хронологическом порядке.

Факт возникновения обязательств может регистрироваться в виде словесного описания, например, в форме дневника:

1. 4 сентября А выиграл у В сумму в 10 д. е.

2. В тот же день C выиграл у А - 4 д.е. д. е.

3. 7 сентября В выиграл у А – 3 д. е.

И т.д. …………………………………

Однако удобней регистрировать эти события с помощью хронологического регистра - журнала регистрации² (табл. 1.1).

Журнал регистрации или журнал операций относится к группе хронологических учетных регистров, так как в него заносится информация в том временном порядке, в котором происходили события. Следует, однако, обратить внимание на то, что дата события не может однозначно его идентифицировать, так как в рассматриваемом интервале времени может произойти не одно, а несколько событий. Поэтому для идентификации событий используется также порядковый номер или номер записи.

Таблица 1.1 – Журнал операций участников A, B, C

за сентябрь месяц

№	Дата	Обязательства		Сумма, д.е.
		К получению	К оплате
1	4.09	A	B	10
2	4.09	C	A	4
3	7.09	B	A	3
4	15.09	A	C	7
5	17.09	B	C	8
6	24.09	C	B	6
7	28.09	A	B	9
8	30.09	C	A	3
Итого:				50

Отметим, что указание условных имен (счетов) участников расчетов в журнале операций, например, А- к получению, В – к оплате, называется в бухгалтерском учете – корреспонденцией счетов. А полная запись с указанием суммы:

Обязательства		Сумма, д.е.
К получению	К оплате
A	B	10

называется учетной записью или бухгалтерской проводкой.

Подсчитаем итоговые суммы обязательств («выигрышей-проигрышей»), используя для записи проводки следующее обозначение: S (X,Y) = S_x,y , где слева в общем виде записаны обязательства: X – к получению, Y – к оплате, а справа – величина этих обязательств S_x,y в денежном выражении.

В нашем примере итоговая сумма обязательств «А – к получению, В – к оплате» будет равна: S (A,B) = S₁ (A,B) + S₇ (A,B) = 10 + 9 = 19 д.е.

Соответственно: S (С, A) = S₂ (С,А) + S₈ (С, A) = 4 + 3 = 7 д.е.

S (В, A) = S₃ (В,А) = 3 д.е. и т.д.

Результаты заносим в Главную книгу (табл. 1.2), которая в нашем случае представляет собой систематический регистр итоговых (сводных) обязательств - проводок.

Таблица 1.2 – Главная книга участников A, B, C

за сентябрь месяц

№	Обязательства		Сумма, д.е.
	К получению	К оплате
1	A	B	19
2	A	C	7
3	B	A	3
4	B	C	8
5	C	A	7
6	C	B	6
Итого:			50

Главная книга относится к группе систематических учетных регистров, так как данные в ней систематизированы, но не по датам, а за весь период и в том порядке, который удобен с точки зрения решаемых задач.

Если журнал операций может содержать любое число записей, поскольку записи могут повторяться по тем же парам участников, то число записей в главной книге ограничено количеством возможных пар участников. В нашем примере максимальное число пар участников равно шести: AB, AC, BA, BC, CA, CB. В общем случае количество пар участников определяется по формуле: m(m-1), где m- это количество участников расчетов.

Данных Главной книги достаточно для решения задачи взаиморасчетов между участниками А, В, С. Окончательные расчеты можно провести двумя способами:

• По принципу «каждый сам за себя» или так называемым методом валовых расчетов, который используется расчетно-платежными системами для расчетов между клиентами банков. В нашем примере для расчетов между А и В в этом случае нужно выполнить следующую процедуру: А получает от В 19 д.е., В получает от А 3 д.е. Сумма денежных средств, которая понадобится для расчетов между всеми участниками равна общему итогу Главной книги, т.е. 50 д.е.

• Путем взаимозачета долгов или клиринга. Для этого необходимо рассчитать разности (сальдо) по формуле: ∆S (X,Y) = S (X,Y) - S (Y,X), где X,Y:= А, В, С.

В нашем примере: ∆S (А,В) = S (А,В) - S (В,А) = 19 – 3 = +16 д.е.,

∆S (А, В) = S (А,В) - S (В,А) = 19 – 3 = +16 д.е. > 0,

∆S (В, А) = S (В,А) - S (А, В) = 3 - 19 = -16 д.е. < 0

Знак «+» означает «К получению», знак « - », соответственно, «К оплате».

Рассмотренные вычисления можно систематизировать, если переписать данные главной книги в форме шахматного баланса, который здесь и в дальнейшем будем называть матрицей дебетовых оборотов (МДО). В данном случае это матрица обязательств к получению и она представлена ниже.

				К получению	К оплате			Итого к получению
					A	B	C
МДО		=		A	0	19	7	26
				B	3	0	8	11
				C	7	6	0	13
				Итого к оплате	10	25	15	50

Если матрицу к получению транспонировать, т.е. переставить ее строки и столбцы, то получим матрицу обязательств к оплате, которую здесь и в дальнейшем будем назвать матрицей кредитовых оборотов (МКО).

				К получению	К оплате			Итого к получению
					A	B	C
МКО		=		A	0	3	7	10
				B	19	0	6	25
				C	7	8	0	15
				Итого к оплате	26	11	13	50

Теперь из матрицы к получению (МДО) вычтем матрицу к оплате (МКО), и в результате получим матрицу сальдо (МС):

МДО – МКО = МС (1.1)

Результат вычитания – значение матрицы сальдо, по данным нашего примера представлен ниже.

				К получению	К оплате			Итого к получению
					A	B	C
МС		=		A	0	+16	0	+16
				B	-16	0	+2	-14
				C	0	-2	0	-2
				Итого к оплате	-16	+14	+2	0

Ниже приведена математическая запись операции получения матрицы сальдо по формуле (3.1) на значениях матриц из рассматриваемого примера:

В этой формуле матрица кредитовых оборотов получена из матрицы дебетовых оборотов с помощью операции транспонирования: МКО = (МДО)′:

Матрица сальдо (МС) – это алгебраическая матрица в том смысле, что в ней сальдо по корреспонденциям счетов представлены с помощью знаков: сальдо к получению со знаком плюс, сальдо к оплате со знаком минус. Она обладает двумя замечательными свойствами:

1. Ее элементы ∆S_X,Y = S_X,Y - S _Y,X зеркально симметричны относительно главной диагонали: ∆S_X,Y = - ∆S _Y,X и ∆S _Y,X = - ∆S_X,Y , что следует из непосредственного сопоставления формул, по которым вычисляются сальдо.

2. Сумма элементов матрицы сальдо всегда равна нулю: . Действительно, из первого свойства непосредственно следует, что сумма каждой пары зеркально симметричных элементов равна нулю: ∆S_X,Y + ∆S _Y,X = 0. Поэтому сумма всех внедиагональных элементов сальдовой матрицы равна нулю. Сумма же диагональных элементов равна нулю, так как каждый диагональный элемент равен нулю: ∆S_X,Y = - ∆S _Y,X, поэтому ∆S_X,Y + ∆S _Y,X = 0. Отсюда следует, что сумма всех элементов сальдовой матрицы равна нулю³.

Записав формулу (1.1) мы сделали важный шаг в направлении качественно иного, непроцедурного представления о технологиях формирования бухгалтерских отчетов. Формула (3.1) определена на множестве всех квадратных матриц любого конечного размера. Это означает, что она справедлива для любого конечного числа участников расчетов, например, 1000, …, 1000000 и т.д. Соответственно, выводы относительно общих свойств матриц, входящих в уравнение также справедливы для любого конечного числа участников и денежных сумм, участвующих в расчетах.

Отметим, что общий вид уравнения (1.1) включает матрицу входящего сальдо, т.е. оно может быть переписано следующим образом:

МС₀ + МДО – МКО = МС₁ (1.2)

Где МС₀ – матрица входящих сальдо; МДО –матрица дебетовых оборотов за период; МКО = МДО′ - транспонированная к ней матрица кредитовых оборотов за тот же период; МС₁ – получаемая из уравнения матрица исходящих сальдо.

Если предположить, что участники расчетов к началу периода не имели задолженностей, то в этом случае матрица входящих сальдо будет нулевой, т.е. во всех ее позициях будут находиться нули. Тогда общее уравнение по данным нашего примера будет следующим:

Перейдем теперь от матричного уравнения взаиморасчетов к итоговому – векторному уравнению взаиморасчетов. В данном случае векторы – это итоговые столбцы соответствующих матриц.

(1.3)

В представленных балансовых уравнениях условные имена участников расчетов А, В, С – их идентификаторы, названы счетами, что соответствует использования понятия персонифицированных счетов в бухгалтерских записях на заре развития бухгалтерского учета во времена Луки Пачоли.

Здесь ВС₀ означает вектор входящего сальдо, ВДО – это вектор дебетовых оборотов, ВКО – вектор кредитовых оборотов, ВС₁ – вектор исходящего сальдо, который получаем из уравнения.

В качестве вектора входящего сальдо (ВС₀) принят нулевой вектор, поскольку в уравнении (1.1) матрица входящих сальдо отсутствует или, что то же самое, она является нулевой матрицей в уравнении (1.2). Поэтому ее итоговый столбец – вектор входящих сальдо (ВС₀) также будет нулевым вектором.

Таким образом, векторное уравнение можно записать в общем виде, которое справедливо для любого конечного числа участников взаиморасчетов:

ВС₀ + ВДО – ВКО = ВС₁ (1.3′)

С помощью уравнения (1.3′) устанавливается связь входящих и исходящих сальдо через обороты по счетам. При этом под оборотами понимаются итоги соответствующих записей к получению и к оплате. В данном случае дебетовый оборот по счету– это итог денежных сумм к получению, кредитовый оборот – итог денежных сумм к оплате.

Уравнение в форме (1.3′) будем называть алгебраическим уравнением оборотно-сальдового баланса, поскольку сальдо к получению и сальдо к оплате представлены в нем с помощью знаков, соответственно, плюс и минус. Итог входящих и исходящих сальдо всегда равен нулю, что следует из свойства зеркальной симметричности матриц входящих и исходящих сальдо.

В бухгалтерском учете термин дебет обозначает левую сторону таблицы счета – к получению, кредит - правую сторону таблицы счета – к оплате. Все это соответствует изначальному смыслу этих терминов. Дебет означает «нам должны» - дебиторская задолженность, кредит, соответственно, «мы должны» - кредиторская задолженность.

Таблица 1.3 – Алгебраический оборотно-сальдовый баланс:

ВС₀ + ВДО – ВКО = ВС₁

Счета	Сальдо (+,-)	Обороты		Сальдо (+,-)
		Дебет	Кредит
A	0	26	10	+16
B	0	11	25	-14
C	0	13	15	-2
Итого:	0	50	50	0

Таблица1.4 – Бухгалтерский оборотно-сальдовый баланс:

(ВДС-ВКС)₀ + ВДО – ВКО = (ВДС- ВКС)₁

Счета	Сальдо		Обороты		Сальдо
	Дебет	Кредит	Дебет	Кредит	Дебет	Кредит
A	0	0	26	10	16	0
B	0	0	11	25	0	14
C	0	0	13	15	0	2
Итого:	0	0	50	50	16	16

Алгебраическому уравнению в форме (1.2) можно поставить в соответствие таблицу алгебраического баланса (табл.1.3), от которой легко перейти к другой форме представления этих же данных – в виде таблицы бухгалтерского оборотно-сальдового баланса (1.4).

Переход заключается в позиционной записи алгебраических сальдо: положительные сальдо записываются в левую позицию - в дебет, отрицательные сальдо в правую позицию– в кредит.

Таблицы оборотно-сальдового баланса содержат балансовые уравнения, которые устанавливают связь входящих и исходящих сальдо по счетам в соответствующих строках.

Итоговая строка таблицы бухгалтерского оборотно-сальдового баланса (табл. 1.4) содержит балансовые равенства – тождества, известные как «постулаты Пачоли»:

1 постулат. «Итоги оборотов по дебету и кредиту всегда равны». В нашем примере: 50≡50.

2 постулат. «Итоги сальдо по дебету и кредиту всегда равны». В нашем примере: 0≡0 и 16≡16.

Интерпретация данных таблицы алгебраического баланса, в том числе, и его итоговой строки, не вызывает затруднений. В таблице 1.3 связь входящих и исходящих сальдо устанавливается с помощью уравнений вида:

С₀ + ДО – КО = С₁ (1.3)

где С₀ обозначает алгебраическую величину (+,-) входящих сальдо; ДО – дебетовый оборот, КО – кредитовый оборот; С₁ – алгебраическую величину (+,-) исходящего сальдо, устанавливаемую из уравнения.

Но как читать балансовые уравнения, которые содержатся в таблице 1.4 бухгалтерского баланса? В частности, как интерпретировать данные его итоговой строки, которые содержат рассмотренные выше балансовые тождества?

Проблема легко решается, если рассматривать запись балансовых уравнений в позиционной (разностной) или в бухгалтерской форме:

(ДС-КС)₀ + ДО – КО = (ДС-КС)₁ (1.4)

где С₀=(ДС-КС)₀ обозначает разность входящих дебетовых и кредитовых сальдо; ДО – дебетовый оборот, КО – кредитовый оборот; С₁=(ДС-КС)₁ - разность исходящих дебетовых и кредитовых сальдо, устанавливаемых из уравнения.

Ниже приведена иллюстрация связей, устанавливаемых балансовыми уравнениями в алгебраической и бухгалтерской форме по данным рассматриваемого примера:

Алгебраические уравнения:

А: 0 + 26 – 10 = +16

В: 0 + 11 – 25 = -14

С: 0 + 13 – 15 = -2

∑: 0 + 50 – 50 = 0

Бухгалтерская запись уравнений:

А: (0 -0)+ 26 – 10 = (16-0)

В: (0 -0) + 11 – 25 = (0-14)

С: (0 -0) + 13 – 15 = (0 -2)

∑: (0 -0) + 50 – 50 = (16-16)

ЗЗапись балансовых уравнений в бухгалтерской форме эквивалентна их записи в алгебраической форме. Это означает, что от алгебраической формы всегда можно перейти к бухгалтерской форме записи этих же уравнений и, наоборот. Другими словами, от записи в столбик можно всегда перейти к позиционной записи и, наоборот, от позиционной записи сальдо всегда можно перейти к их записи в столбик.

Но данные по сальдо лучше воспринимаются, если они записаны не в столбик, а позиционно – по дебету и кредиту. По данным исходящего сальдо (табл. 3.4) хорошо видно, что надо делать, чтобы произвести окончательные расчеты между участниками расчетов А, В и С. В данном случае участники В и С должны внести в кассу, соответственно, денежные суммы в размере 14 д.е. и 2 д.е. В свою очередь, участник А должен получить в кассе выигрыш в сумме 16 д.е..

Кроме того, нулевой итог величина неопределенная, поскольку важно знать из каких чисел (положительных и отрицательных) сложился этот итог. Позиционная или бухгалтерская запись итоговых сальдо позволяет видеть это. В нашем примере: 16 – 16 = 0. Здесь сумма, находящаяся слева, по дебету – это итоговая сумма выигрышей, а равная ей сумма, находящаяся справа, по кредиту – это итоговая сумма проигрышей всех участников.

Из данного примера также видно, что клиринговые расчеты, использующие взаимозачет, требуют меньшего количества денежных средств, чем валовые расчеты. При зачете взаимных обязательств в данном случае потребовалось наличие 16 д.е., в то время как, при валовых расчетах – по принципу «каждый сам за себя», требуется сумма 50 д.е., равная итоговым оборотам по счетам.

Тот же самый оборотно-сальдовый баланс можно получить, используя традиционную технику классической двойной записи с использованием так называемых Т – счетов. Она заключается в следующем.

На каждый используемый счет открывается соответствующий Т-счет. В нашем примере таких Т – счетов будет три: А, В, С. Записи журнала операций переносятся путем записи суммы операции в левую часть счета Т-счета – в его дебет, и дублирования этой же суммы в правую часть корреспондирующего Т-счета – в его кредит.

Например, первая запись журнала операций (табл. 3.1): S₁ (А,В) = 10 д.е. будет, как показано ниже на схеме, записана в дебет счета А и продублирована в кредите счета В.

А B C

1) 10

1) 10

Действуя подобным образом, переносим данные из журнала операций в Т - счета и подсчитываем итоги записей по дебету и кредиту каждого счета. В результате по каждому счету получим дебетовые обороты (ДО) – к получению, и кредитовые обороты (КО) - к оплате.

А B C

1) 10 4) 7 7) 9	2) 4 3) 3 8) 3		3) 3 5) 8	1) 10 6) 6 7) 9		2) 4 6) 6 8) 3	4) 7 5 ) 8
ДО=26	КО=10		ДО=11	КО=25		ДО=13	КО=15

Рассмотренные Т-счета называются оборотными Т-счетами, так как в них показаны только обороты по дебету и кредиту счета. В литературе по бухгалтерскому учету чаще используются оборотно-сальдовые Т – счета, в которых помимо оборотов в верхней части таблицы счета показаны входящие сальдо, сложившиеся к началу периода, а внизу – исходящие сальдо, рассчитанные в соответствии с балансовыми уравнениями.

А B C

ДС0 = 0	КС0 = 0		ДС0 = 0	КС0 = 0		ДС0 = 0	КС0 = 0
1) 10 4) 7 7) 9	2) 4 3) 3 8) 3		3) 3 5) 8	1) 10 6) 6 7) 9		2) 4 6) 6 8) 3	4) 7 5 ) 8
ДО=26	КО=10		ДО=11	КО=25		ДО=13	КО=15
ДС1 = 16				КС1 = 14			КС1 = 2

З

А: (0 -0) + 26 – 10 = (16-0), где 26 = 10+7+9, 10 = 4+ 3 + 3

В: (0 -0) + 11 – 25 = (0-14), где 11 = 3 + 8, 25 = 10 + 6 + 9

С: (0 -0) + 13 – 15 = (0 -2), где 13 = 4 + 6+ 3, 15 = 7 + 8

∑: (0 -0) + 50 – 50 = (16-16)

аписям в оборотно-сальдовых Т-счетах соответствуют балансовые уравнения:

В данной записи балансовых уравнений показаны не только сами обороты, но также, после слова «где», расшифровки этих оборотов, т.е. составляющие их суммы, на основании которых они подсчитаны.

Таким образом, представленные уравнения являются полными эквивалентами обортно-сальдовых Т-счетов. Это означает, что от представления в форме Т-счетов всегда можно перейти к представлению их в форме соответствующих балансовых уравнений и, наоборот.

Если входящие сальдо, сложившиеся к началу периода, известны, то данных об оборотах, подсчитанных в Т – счетах, достаточно для заполнения таблицы оборотно-сальдового баланса, который будет тем же, что и при решении этой же задачи с помощью векторно-матричных уравнений.

Разница, однако, заключается в том, что решение данной задачи путем использования техники классической двойной записи сводится к использованию готового рецепта - определенной процедуры, которую легко объяснить на числовом примере, но невозможно представить в обобщенном виде.

Кроме техники Т-счетов, применяемой в основном для учебных целей, на практике используются различные формы учета: мемориально-ордерная, журнально-ордерная, «журнал – главная» и другие (см. главу 7 настоящего учебника). Каждая из них представляет собой свою систему учетных регистров и алгоритмов преобразования данных этих регистров в бухгалтерские отчеты, одним из которых является рассмотренный нами оборотно-сальдовый баланс. При этом на основе одного и того же журнала операций в условиях различных форм учета также будет получен тот же самый оборотно – сальдовый баланс.

Все это означает, что должно существовать нечто общее, которое объединяет все существующие процедуры получения бухгалтерских отчетов, в том числе и оборотно-сальдового баланса. Этим общим и является матричная модель технологии бухгалтерского учета, рассмотренная нами на примере задачи о взаиморасчетах.

Проектное задание

Журнал взаиморасчетов участников A, B, C, D

за отчетный период

№	Обязательства		Сумма, д.е.
	К получению	К оплате
1	A	B	15
2	C	A	40
3	B	A	30
4	A	C	75
5	B	C	18
6	C	B	60
7	A	B	90
8	C	A	35
9	B	D	25
10	D	C	50
11	D	B	20
12	C	D	12
13	A	D	45
14	D	A	55
15	B	D	65
Итого:			635

Задание 1. На основании журнала о взаиморасчетах четырех участников A, B, C,D сформировать Главную книгу взаиморасчетов.

Задание 2. На основании Главной книги заполнить шахматный баланс – матрицу к получению (МДО).

Задание 3. На основании матрицы к получению (МДО) сформировать матрицу к оплате – МКО.

Задание 4. Используя результаты выполнения заданий 2 и 3, получить матрицу сальдо (МС). Показать, что матрица сальдо обладает свойством зеркальной симметричности ее элементов и, что сумма ее элементов равна нулю.

Задание 5. Предполагая, что взаимных задолженностей на начало периода не было ни у кого из участников, записать оборотно-сальдовый баланс в алгебраической форме и заполнить таблицу оборотно-сальдового баланса. Для этих целей использовать векторно-матричные формулы, представленные в модуле 1, раздел 2.

Задание 6. Заполнить таблицу оборотно-сальдового баланса, используя технику Т-счетов. Сравнить результаты с заданием 5.

Задание 7. Ответить на вопрос, сколько строк будет в Главной книге, если число участников расчетов будет равно пяти, десяти и тысяче.