Перечень обязательных вопросов к экзамену

Вопросы используются на первом этапе сдачи экзамена. Для поло­жительной аттестации студент должен без подготовки отвечать на лю­бые 5-6 вопросов из данного перечня.

Определения и понятия

Множества рациональных, иррациональных и действительных чи­сел. Максимум, минимум, супремум, инфимум числового множества. Окрестность, проколотая окрестность.

Свойства функций (четность, периодичность, нули функции, огра­ниченность, ограниченность сверху/снизу). Монотонные и строго моно­тонные функции (возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрас- тающие функции). Определение обратной функции. Построение графи­ка обратной функции по графику прямой функции.

Последовательность, ее обозначения. Предел последовательности.

Определение предела функции. Определение бесконечно малой (б. м.) и бесконечно большой функции и связь между ними. Сравнение бесконечно малых функций (понятия и обозначения: эквивалентности, одного порядка малости и высшего порядка малости двух функций). Порядок малости.

Определения непрерывной функции в точке (два определения). Классификация точек разрыва.

Определение производной. Геометрический смысл производной. Производная n-го порядка. Теорема Лопиталя. Эластичность функции. Приращения функции и аргумента, относительные приращения.

Достаточные условия монотонности функции (возрастания и убыва­ния). Необходимое условие существования точки экстремума. Достаточ­ные условия 1-го порядка существования точки экстремума.

Определения выпуклости (вниз/вверх) функции (два определения). Определение точки перегиба. Достаточные условия выпуклости функ­ции. Необходимые условия существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба. Таблица соответствия характера поведения графика функции и значений производных 1-го и 2-го порядка на некотором промежутке.

Определение асимптоты графика функции. Порядок нахождения вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

Определение дифференциала функции. Связь дифференциала и при­ращения функции. Геометрический смысл дифференциала.

Определение первообразной и неопределенного интеграла. Геомет­рический смысл неопределенного интеграла.

Разложение рациональной дроби на простейшие (определение пра­вильной и неправильной дробно-рациональной функции, приведение произвольной дробно-рациональной функции к сумме многочлена и правильной рациональной дроби, формула разложения правильной ра­циональной функции на сумму элементарных (простейших) дробей).

Определение определенного интеграла, его геометрический смысл.

Определение ряда. Частичная сумма ряда, остаток ряда. Определение суммы ряда и сходящегося ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Две теоремы сравнения, признаки Даламбера, Коши, интегральный при­знак сходимости числового ряда с положительными членами. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда. Абсолютная и условная сходимости ряда. Радиус сходимости степенного ряда.

Формулы

Факториал. Бином Ньютона. Число сочетаний. Число пререстановок.

Корни квадратного трехчлена, выделение полного квадрата. Выде­ление целой части и правильной рациональной дроби дробно-линейной

ax + b функции (y _ ).

cx + d

log a xb, log a (x - y), log a (fy), sin(x + y), cos(x + y), sin(x — y), cos(x — y), sin(2x), cos(2x). Основное тригонометрическое тождество.

Сравнение скоростей возрастания элементарных функций (степен­ной, показательной и факториала). Предел последовательности корня n-ой степени из п.

Первый замечательный предел и следствия из него.

Второй замечательный предел и следствия из него.

Таблица производных. Правила дифференцирования (производная сложной функций, производная константы, суммы, произведения, част­ного). Связь производной, темпа и эластичности.

Таблица интегралов.

Формула Ньютона — Лейбница. Замена переменных в определен­ном интеграле. Вычисление определенных интегралов по частям.

Площадь правильных фигур (в декартовой системе координат). Дли­на дуги (в декартовой системе координат). Площадь эллипса. Объем эл­липсоида.

Свойства сходимости/расходимости геометрического, обобщенного гармонического рядов. Частичная сумма и сумма членов геометрическо­го ряда. Формулы вычисления радиуса сходимости степенного ряда (по признакам Даламбера и Коши).

Ряды и формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Ряды Маклорена от элементарных функций (exp(х), sin(x),cos(х), (1 + х) _ 1).

Графики

Графики элементарных функций (y — f (х)): степенных функций (y — х^2п, y — х^2п_¹), функций «радикал» (y — х^12п, y — х ^^{(2п 1)}), функций «гипербола» (y — х_^2п, y — х ^{(2п 1)}), показательных функций (y — ax (a > 1, 0 < a < 1), экспоненты y — e^x), логарифмических функ­ций (y — log _a x (a > 1,0 < a < 1), натурального логарифма y — ln(x), де­сятичного логарифма y — lg( x)), тригонометрических функций (y — sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x)), обратных тригонометрических функций (y — arcsin(x), arccos(x), arctg(x), arcctg(x)), функции «модуль» (y — |x|),

функции «знак числа» (y — sign(x) или y — ^x), квадратичной функции

x

(y — ax² + bx + с), дробно-линейной функции (y — ^ax + ^b).

cx + d

Значения

Приближенные значения e, к, корня из 2 и 3. sin(x), cos(x) от 0, к/6, к/4, к/ 3, к/2, к, 2к.

arctg(x), arcctg(x) от 0 и 1.

ln(x) от 1, e.

lg(x) от 1, 10.

Перечень обязательных практических заданий к экзамену

Практические задания используются на первом этапе сдачи экзаме­на. Задания соответствуют уровню контрольных и лабораторных работ. Для положительной аттестации студент должен полностью решить предложенные задания.

^а) У =

1. Провести полное исследование функции и построить график:

19 + 4 x + x²

x² + 4 x + 7 '

2. Вычислить интеграл, используя замену переменных (подстанов­^ку^):

3 cos(^(2x + 3) I

а) J 2 dx;

¹ i (² x+³)

713 ,

б) J (x + 1) у(3x + 1)² dx.

0

2. Вычислить предел двумя способами (используя правило Лопита­ля и с помощью замечательных пределов и свойств пределов):

а)^-^^ - ².

tg(2x²) in(2 x²)

x^0

arsin

б) lim

л/9 + 4x² - 3 4. Исследовать на экстремум функцию:

z = x³ + 8 y³ - 6 xy + 5.

Экзаменационные билеты по теоретическому материалу

Студент получает оценку «хорошо» или «отлично» только после по­ложительного ответа на один из предлагаемых билетов.

Билет № 1

1. Определение множества. Элемент множества, подмножество (обозначения принадлежности множеству), пустое множество. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение). Равенство и эквивалентность множеств.

2. Теорема Лопиталя и ее использование для раскрытия неопреде­ленностей различных видов. Примеры.

3. Производная по направлению. Градиент функции, его смысл. Уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности.

Билет № 2

1. Числовые множества (натуральных, целых, рациональных, ирра­циональных и действительных чисел). Примеры иррациональных чисел.

2. Замена переменных в определенном интеграле. Вычисление опре­деленных интегралов по частям. Примеры.

3. Необходимые условия существования точки строгого локального экстремума функции многих переменных. Достаточные условия (для функций п и 2-х переменных). Матрица Гессе. Примеры на­хождения безусловного экстремума.

Билет № 3

1. Перестановки, размещения, сочетания (определения, формулы вычисления, свойства). Факториал.

2. Определение предела функции и его свойства. Односторонние пределы (обозначения и примеры функций, имеющих различные односторонние пределы). Бесконечные пределы. Неопределенно­сти и методы их раскрытия (на примерах): (то/то), (0/0), (то _ то).

Билет № 4

1. Определение функции. Область определения и область изменения функции. Способы задания функции. График функции. Основные

свойства функций (четность, периодичность, нули функции, огра­ниченность). Монотонные и строго монотонные функции.

2. Область сходимости функционального ряда. Теорема Абеля об области сходимости/расходимости степенного ряда. Радиус схо­димости степенного ряда. Формулы вычисления радиуса сходи­мости (по признакам Даламбера и Коши), примеры.

Билет № 5

1. Определения производной, функции, дифференцируемой в точке и на промежутке. Примеры вычисления производной по определе­нию (для функций y — x³, y — sin(x), y — ln(x)). Связь непрерыв­ности и дифференцируемости функции в точке.

2. Определение сложной функции. Классификация элементарных функций (алгебраические, рациональные, иррациональные, транс­цендентные). График квадратичной функции y — ax² + bx + c (вы­деление полного квадрата).

3. Задача инвестирования в три фонда (задача Марковица).

Билет № 6

1. Определение элементарной функции. Классификация элементар­ных функций (алгебраические, рациональные, иррациональные,

трансцендентные). График дробно-линейной функции y — ^aX + ^b

cx + d

(выделение целой части и правильной рациональной дроби).

2. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Гео­метрический смысл. Совместные свойства операций интегрирова­ния и дифференцирования. Свойства неопределенного интеграла.

3. Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости числового ряда с положительными членами, примеры.

Билет № 7

1.Определения последовательности, предела последовательности. Определение сходящейся последовательности. Число е как предел

n

1+1

n

(доказательство существования

последовательности предела).

2. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменных и под­становка. Примеры.

3. Задача определения максимального и минимального значения функции в области.

Билет № 8

1. 1-й замечательный предел (с доказательством) и следствия из не­го.

2. Геометрический смысл определенного интеграла. Длина дуги кривой (кривая задана в декартовых координатах и параметриче­ски). Примеры.

3. Определение ряда. Частичная сумма ряда, остаток ряда. Опреде­ление сходимости ряда и суммы ряда. Необходимое условие схо­димости ряда. Сравнение рядов (с примерами). Примеры сходя­щихся и расходящихся рядов (геометрический, гармонический, обобщенный гармонический ряды).

Билет № 9

1. Геометрический смысл производной. Естественно-научный смысл производной. Достаточное условие постоянства функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.

2. Замена переменных и подстановка в неопределенном интеграле. Интегрирование некоторых классов элементарных функций с ис­пользованием замены и подстановки (содержащих иррациональ­ные и тригонометрические функции).

3. Задача распределения ресурсов (с использованием производст­венной функции Кобба — Дугласа).

Билет № 10

1. Темп изменения функций. Темп изменения линейных и показа­тельных функций. Связь темпа с производной.

2. Интегрирование по частям. Типы функций, интегрируемых по частям. Примеры.

3. Аппроксимация, интерполяция функций. Идентификация. Интер­поляционная формула Лагранжа.

Билет № 11

1. Определение точки строгого локального экстремума функции. Необ­ходимое условие существования точки экстремума. Критические точки 1-го порядка (точки, подозрительные на экстремум). Доста­точные условия 1-го порядка существования точки экстремума. Дос­таточные условия 2-го порядка существования точки экстремума.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Понятие функции нескольких переменных, график. Области опре­деления, изменения функции. Замкнутые/открытые, ограничен­ные/неограниченные подмножества евклидова пространства.

Билет № 12

1. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции и связь между ними. Свойства бесконечно малых функций. Срав­нение бесконечно малых функций (понятия и обозначения: экви­валентности, одного порядка малости и высшего порядка малости двух функций). Порядок малости.

2. Функция верхнего предела. Формула Ньютона — Лейбница (с вы­водом). Примеры вычисление определенного интеграла.

3. Три формы записи комплексных чисел (алгебраическая, тригоно­метрическая и показательная). Действия над комплексными чис­лами в различных формах.

Билет № 13

1.Определение предела последовательности. Определение беско­нечно малых и бесконечно больших последовательностей. Свой­ства бесконечно малых и больших последовательностей.

2. Несобственные интегралы I и II рода. Примеры.

2. Вычисление объема тела с помощью определенного интеграла. Объем эллипсоида.

3. Ряды Маклорена от элементарных функций (exp(x), sin(x), cos(x),

ln(1 + x), (1 + x)™ при различных значениях m, arctg(x)).

Билет № 14

1. Два определения выпуклости/вогнутости функции и их геометри­ческий смысл. Определение точки перегиба. Достаточные усло­вия выпуклости/вогнутости функции. Необходимые условия су­ществования точки перегиба. Достаточное условие существова­ние точки перегиба.

2. Модуль числа и его свойства (часто используемые неравенства с модулями). Окрестность и проколотая окрестность.

3. Полное, частное приращения. Понятие частной производной и пра­вило ее вычисления. Дифференцирование сложных функций. Пол­ный дифференциал. Полная производная. Частные производные высших порядков. Смешанные производные и их свойства.

Билет № 15

1. Асимптоты и порядок их нахождения. Функции зависимости спроса от дохода (четыре функции Торнквиста) и их асимптоты.

2. Определение точки перегиба. Необходимые условия существова­ния точки перегиба. Достаточное условие существование точки перегиба.

3. Признак Лейбница — сходимости знакочередующегося числово­го ряда, примеры. Абсолютная и условная сходимости ряда.

Билет № 16

1. Определение последовательности, ее обозначения. Определение предела последовательности, сходящейся последовательности, монотонной, ограниченной последовательностей. Примеры по­следовательностей (сходящихся и расходящихся, арифметиче­ская, геометрическая, гармоническая прогрессии). Свойства схо­дящихся последовательностей.

2. Дифференциал функции одной переменной и его связь с прираще­нием функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала.

3. Задача потребительского предпочтения (задача Р. Стоуна).

Билет № 17

1. Достаточные условия постоянства и монотонности функции. Не­обходимые условия существования точки экстремума. Достаточ­ные условия первого порядка существования точки экстремума.

2. Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь по­верхности тела вращения. Пример.

3. Задача определения максимального и минимального значения функции в области.

Билет № 18

1. Определения непрерывной функции (в точке и на промежутке). Локальные свойства непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

2. Понятие интегральной суммы. Определение определенного инте­грала, его геометрический смысл.

3. Задача распределения ресурсов (с использованием производст­венной функции Кобба — Дугласа).

Билет № 19

1. Иррациональность числа е. Формула сложного процента. Рост до­хода при непрерывном начислении процентов.

2. Геометрический смысл определенного интеграла. Объем тела вра­щения. Пример.

3. Необходимые условия существования точки строгого локального экстремума функции многих переменных. Достаточные условия (для функций n и 2-х переменных). Матрица Гессе. Примеры на­хождения безусловного экстремума.

Билет № 20

1. Определение функции. Определение обратной функции. Доста­точное условие существования обратной функции. Построение графика обратной функции по графику прямой функции. Приме­ры.

2. Определение производной. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке. Геометрический смысл дифференциала.

3. Ряды и формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член ряда в форме Лагранжа. Оценка количества членов ряда для прибли­женного вычисления значения функции с заданной точностью (примеры).