Тема 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких

переменных. (2 часа)

1. Понятие функции нескольких переменных и частных производ­ных. Частные производные (практическое занятие).

Вопросы по теме:

Понятие функции нескольких переменных и ее геометрическая ин­терпретация, график. Области определения, изменения функции. Замк­нутые/открытые, ограниченные/неограниченные подмножества евкли­дова пространства. Понятие линии (поверхности) уровня функции.

Полное, частное приращения. Понятие частной производной и пра­вило ее вычисления. Геометрический смысл частной производной. Диф­ференцирование сложных функций. Полный дифференциал. Полная производная. Частные производные высших порядков. Смешанные производные и их свойства.

2. Производная по направлению и градиент. Построение графиков функций двух переменных (практическое занятие).

Вопросы по тёмё:

Производная по направлению. Градиент функции, его геометриче­ский смысл. Свойства производной по направлению и градиента. Урав­нения касательной и нормали к линии уровня функции 2-х переменных. Касательная плоскость. Уравнения нормальной прямой и касательной плоскости к поверхности — графику функции 2-х переменных.

Метод сечений. Линии уровня. Способы изображения. Примеры функций двух переменных, их графики, области определения и измене­ния, линии уровня (плоскость, сфера, эллипсоид, эллиптический парабо­лоид, эллиптические гиперболоиды, параболический гиперболоид, ко­нус, цилиндры).

Лабораторная работа № 9. Функции двух переменных.

2. Безусловный экстремум. Условный экстремум. Абсолютный экс­тремум. (Практическое занятие).

Вопросы по тёмё:

Определение точки строгого локального экстремума функции не­скольких переменных (максимума, минимума). Необходимые и доста­точные условия существования точки строгого локального экстремума функции нескольких переменных, 2-х переменных (3 теоремы). Геомет­рический смысл достаточных условий безусловного экстремума.

Формулировка задачи на условный экстремум. Метод исключения зависимых переменных, метод исключения зависимых дифференциалов, метод множителей Лагранжа в задаче на условный экстремум. Необхо­димые и достаточные условия существования условного экстремума (3 теоремы).

Максимальное и минимальное значение функции в области.

Лабораторная работа № 10. Условный и абсолютный экстремум.

3. Лабораторные работы (лабораторный практикум)

Лабораторные работы выполняются студентами в часы, предназна­ченные для самостоятельной работы. Работы оформляются в виде пись­менного отчета в тонкой тетради. В тех лабораторных работах, в кото­рых предусматривается применение компьютера, в отчет включается листинг и файл программы для ПК.

Лабораторная работа № 1. Свойства элементарных функций.

Построение эскизов графиков элементарных функций

(10 часов)

Вариант 1

1. Найти область определения функции:

1

^y Ч2^3х 16^{J +} V4 _ 3х _ х² 2. Исследовать на четность функцию:

У ^— !g

х v х"

к /

1

2 14 ,

- + J + 1

3. Найти период функции:

5 _ х

3

+ 1

y — (2 sin²

4. Построить графики функций: 5 _ 2 х

найти sup (y), max (y), min (y), при х £ [2, то).

y—

х _ 1

х _ х y — , y — arccos

1 _ 2 х

^х

^tgx

2 х + ^К 4

2 х + ^К 4

+

, y — cos

cos

5. Построить график функции:

х⁴, если х £ [0, 16]

₄_ х .

y—

2e ⁴ cos(2nx _ 32к) + 6, если х £ (16, то)

Вариант 2

1. Найти область определения функции: y _ lg(—x¹ — 5x + 6) — V—x

2. ₂3

   1

   y _ ^sin² (3x + 6), y =

   Исследовать на четность функцию:

1 — 4²

y—

3. Найти период функции:

, f3xl . (х ₁ y _ 3 cos — sm 1

2 J U .

4. Построить графики функций:

2 х + 3

y _ , найти sup (y), max (y), min (y), при x £ [2, ж

x — 1

x

^y—x^^:

arccos

5. Построить график функции:

4

£[0, 8],

x

2

если x

y—

6e ³ cos(3nx + 24n) + 16, если x £ (8, ж).

Лабораторная работа № 2. Пределы (20 часов)

1. Пределы последовательностей.

Вариант 1

1. Доказать, что lim

п^ж

7 n + 4 _ 7 ^п^^ж 2n + 1 2

Вариант 2

1. Доказать,

5ⁿ + 1 lim _ 1.

п^ж 5ⁿ

2. Найти пределы

sin(5n + 1) (a) lim —1

что

^п^^ж n +1

6 С 4

(b) lim

1 + n³ + 3n⁶

n _ 5n

(b) lim

1 + n⁴ _ 3n⁵

n⁴ _ 3n³ + 1

_n

, . v Vn² + 1 + П (c) lim

2 + 4+ +2n

(d) lim

n

n + 3

n—ж

2 n+5

n + 7

(e) lim

n + 4

(f)

lim (Vn² + 8n + 3 _Vn² + 4n + 3J

n—\ J

(g) lim (nn² + 8n + 3 ,. Vn² +1 +4n

(c) lim —

n—то 4/3

7

V n + 3 _ n 7ⁿ _ 2ⁿ

(d) lim

n+1

3 n+ 2

n_ 4

(e) lim

, n + 4J

6. lim n(Vn⁴ + 3 _Vn⁴ _ 2J

7. lim ^n⁴ + 3

n—ж

2. Пределы функций.

Вариант 1

1. Доказать (найти 8(e)), что

.. 2 х² + 5х _ 3 lim — _7.

х—_³ х + 3

2. Доказать, что функция f (х) — 5х² _ 1 непрерывна в точ­ке х₀ — 6 (найти 8(e)).

Найти пределы:

3. 4. lim

   х— 2

   lim sin 3х ctg2х

х— 0

У3х _ 2 _ 2 х² _ 4

Вариант 2

1. Доказать (найти 8(e), что

.. 3х² + 5х _ 2 lim — _7

х—_² х + 2

2. Доказать, что функция f (х) — 3х² _ 3 непрерывна в точ­ке х₀ — 4 (найти 8(e)).

4. lim

х—-

Найти пределы:

. 3х² _ 5х + 2

3. lim

х—1

2 х _ х _ 1 Ух + 4 _ 1 ³ 73 _ 2х _ 3

,. .. 1 — cos 4 x 5. lim

3x² — 2 x — 1

5. lim

^x—1 x + 4 x + 1

^x—0 sin² 3x

2 x² + 3x — 2

6. lim

6. lim

^x——2 3x² + 2x — :

x— 2

x + x + 1 x² — x — 2

2 x³ — x + 1 x² + 2 x — 5

1

x——ж

2 x — 1 1 — 2 sin x

9. lim

^x—к/⁶ к/ 6 — x

9. lim xx³ + 1 — Vx³ — 3J

7. lim

x— ж

8. lim

x—>+ж \ J

x

ln(1 + 4 x)

11. lim-

-*⁰ arctg2 x

. 2 x² — 3x + 1

7. lim

x— ж

x + x — 4

₂ л 2 x—5

1 —

8. lim

x—ж

x + 4

x — 1

'2 x + 1 ^x

9. lim

— tg x

x—>+ж

e^4x — 1

10. lim

x

⁰ sin5x 1

11. lim

cos x

x—— 2

_r ⁴x⁵ — 3 — ^8x⁴ + 1 12. lim

x+1

2 x + 3

12. lim

x—>+ж

5x + 7

^+^ж V x⁴ + 2 — V x³ + 5

Лабораторная работа № 3. Производные сложных функций. (20 часов)

Вариант 1 Вариант 2

Продифференцировать данные функции Продифференцировать данные функции

y _(x — 2) arcsin(5x⁴)

/ N\^ctg(x+¹)

y _ 2

2 x —

y—

¹ log 2 ( x — 3x²)

2 x + 1

x

y _ (arcsin(2x))

arcctgl-

3x

y _ 6

y _ ^3x⁴ + 2 x — 5 +-

(x — 2)⁵

y — _

2 x³ _ 3x + 1

arctg³ (2 j

y—

ch

y — cos⁵ (3x)tg((4 x + 1)³

y — ³x⁷ + ^6x _ Vx log5 (3x _ 7)

y—

ctg (7 x³) arcctg⁴ (5x

y—

sh

— 2 x⁵ _ 4- + ¹ + 3л[х

^y

хх

y^—^ ^lg^{(4 x}+⁷

y — tg⁴ (3x)arcsin(2 x³) y — sin³ (2 x) cos( 8 x⁵)

tg(3 x

y — (arccos( x + 2))

y — 2 + _ 4 x³ + 2

х

ln(5x _ 3)

y—

4tg(3x⁴)

х

y — ^3x _ 9x⁴ + л/Г

Лабораторная работа № 4. Правило Лопиталя. (10 часов)

Найти пределы,

Вариант 2

Вариант 1 Найти пределы,

используя правило Лопиталя используя правило Лопиталя

ln(x + 5)

1. lim ; '

^х—то Vх + 3

, -,. 1 _ cos 8х

2. lim

^х—0 tg² 2 х

„ arcsin4х

3. lim

х—⁰ 5 _ 5e_^3х

a^{h х} _ х

1. lim

¹ х _ 1

х

2. lim х sin —

х—ТО х

lncos х

2. lim

х— 0 х

. ctg x

1. lim(1 — sin 2x)

2. lim x(ln(2 + x) — ln(x + 1))

x

ln1

4. lim

x— 0

x

m . . m cos + Л sin —

x—ж v ^ / ^ // 5. lim

x

x

x— ж

Лабораторная работа № 5. Полное исследование функции (20 часов)

Содержание:

Провести полное исследование функций и построить графики

- a(x+ c

ax³ + bx

2 2 x — c

1. y _

3. y _ b(x + c)- e

4. y _ a ln + c

x + b

2. y _ a³(x — b)(x — c)²

№ вар.	Значение коэффициентов
N	a	b	c
1	1	6	1
2	-2	4	1

Лабораторная работа № 6. Неопределенный интеграл. (40 часов)

^.J

1

2 J

^3.J

2.

3.

Вариант 1 Найти интегралы: 1. J Vsin xcos⁵ x dx

8 x —11

dx

лУ 5 + 2 x — x²

2

x

dx

9 — x⁴

Вариант 2 Найти интегралы:

dx

x ²л1 x² + 1 x+2

dx

x + 2 x + 5

2

x

dx

(x + 2) (x + 4)

4f^ dx

^J x⁴

cos х

5 . J ax

1 + sin х

dx

3

2 sin x + 18 cos x

-dx

к4х

6. J(x² + 1)3^xdx

4 + tgx

^.J ^.J

4. J x² cos 6x dx

5. Jx(1 + x³)²dx

6. ^.J

   f- ^dx «у oir

sin 3x cos 3x 5tgx + 2

-dx

2 sin 2 x + 5

J. J^Sdx

x² 4x

Лабораторная работа № 7. Определенный интеграл (40 часов)

Вариант 1 Вычислить интегралы:

Вариант 2 Вычислить интегралы:

3

2

+то

J

1. J х ln(x _ 1)dx

dx

2.

3 (х _ 1) (х + 1)

3. j^+T + x dx

Vx + 1 _ 1

dx

4 J Г-

12 V x _ x

x³ _ 2 x² + 3

(x _ 1)²

1

dx

J arctgVxdx

0

+ TO

[( x² + 4 x _ 5)

³-J:

2

1 ln(3x _ 1)

4. J — ^ dx

J

⁰5

dx

^Jx ^3x _¹

2 ln 2

I

dx

e^x _ 1

5. J sin² — dx

Лабораторная работа № 8. Числовые и степенные ряды (30 часов)

Содержание:

Вариант 1

1. Найти сумму ряда

ж

V ¹

1 (2п + 1)(2п + 3)

2. Исследовать на сходимость ~ 1 - 7 - 13-..,(6п — 5)

   5. 15 -16 -17-...-(п + 14)^,

Вариант 2

ж 5n 3n+1

1. Найти сумму ряда V"

n_1

15ⁿ

2. Исследовать на сходимость V 1 - 3-5-...-(2n — 1)

3ⁿ - n⁵

n_ 1

V

n

arctg(n

4

1

=> V

n_ 1

ⁿ_¹ 4j (4п + 5)

_чп+1 4п

V(—1)ⁿ

6n + 5

n_ 1

1

г, V

¹ ^ (3n + 7)^{7 n}_¹

n

n+3

3ⁿ'

V

n+4

. n+1

ж

n_1

V(—1)

3n² + 1

3. Найти область сходимости

3. Найти область сходимости

V

ж _x n+1

15ⁿ+¹ n

n

x

V

_1 V2 + 3n

4. Разложить в ряд Маклорена. 4. Разложить в ряд Маклорена.

е _ 10^—3: y _ ^x

2

1 + 2 x

Определить число членов ряда, Определить число членов ряда, которые необходимо взять, чтобы которые необходимо взять, чтобы вычислить y(1/2) с точностью вычислить y(1/2) с точностью

е _ 10 ³: y _ x^/2arctg4x

Лабораторная работа № 9. Функции двух переменных (10 часов)

Вариант 1

1. Найти и построить (заштриховать) область определения функции z _ ln((y — 1)(4 + y² — x²))

2. Построить область определения. Построить линии уровня. По­строить поверхность методом сечений. Построить линию уровня, прохо­дящую через точку М. Построить градиент функции в точке М, написать уравнения касательной прямой и нормальной прямой к линии уровня в точке М и нарисовать их. Написать уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности в точке М.

z — (_2 х² + y²) ^X,M(2,3)

Вариант 2

1. Найти и построить (заштриховать) область определения функции

z — ((4 _ х² + y)( y _ х))^Х

2. Построить область определения. Построить линии уровня. По­строить поверхность методом сечений. Построить линию уровня, прохо­дящую через точку М. Построить градиент функции в точке М, написать уравнения касательной прямой и нормальной прямой к линии уровня в точке М и нарисовать их. Написать уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности в точке М.

z —(4 + 4 х² + y²) ^X,M(1,1)