2. Темы практических и/или семинарских занятий

После каждой темы рекомендуется дать ссылки на учебно-методи­ческую литературу, указанную в разделе учебно-методическое обеспечение дисциплины.

Тема 1. Элементы теории множеств и комбинаторики. (2 часа)

1. Множества и операции над ними (практическое занятие).

Вопросы к тёмё:

Понятия множества, элемента множества. Пустое множество, под­множество. Равенство множеств. Операции над множествами: объедине­ние, пересечение, разность, дополнение (с примерами). Отображение множеств: однозначное, взаимно однозначное. Конечные и бесконечные множества.

Определения множеств натуральных, целых, рациональных, ирра­циональных действительных числа. Ограниченные множества действи­тельных чисел. Понятия наибольшего (наименьшего) элемента множест­ва, грани множества, точной верхней (нижней) грани множества.

Числовая ось. Отрезок, интервал, полуинтервал, бесконечный ин­тервал, окрестность, проколотая окрестность. Модуль числа. Часто ис­пользуемые неравенства с модулями.

Упорядоченные множества (соединения). Перестановки, размеще­ния, сочетания (определения, формулы вычисления, свойства). Факториал. Бином Ньютона.

Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной

переменной (4 часа)

1. Элементарные функции и приемы исследования их свойств (прак­тическое занятие).

Вопросы по теме:

Понятие функции. Область определения и область изменения функ­ции. Интервал. Отрезок. Способы задания функции (аналитический, таб­личный и графический). График функции. Свойства функций (четность, периодичность, нули функции, ограниченность, ограниченность свер­ху/снизу). Корни квадратного трехчлена. Монотонные и строго моно­тонные функции (возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрас- тающие функции). Определение обратной функции. Достаточное усло­вие существования обратной функции (строгая монотонность прямой функции на промежутке). Построение графика обратной функции по графику прямой функции.

Основные элементарные функции и их графики. Функции «модуль» (у — |х|), «знак числа» (y — sign(x)nm y — х/|х|). Квадратичные функции

(y — ах¹ + bx + с, выделение полного квадрата). Добно-линейные функ-

, ас + b

ции (y — , выделение целой части и правильной рациональной

сх + d

дроби). Области определения и изменения, свойства основных элемен­тарных функций. Определение сложной функции (суперпозиции функ­ций). Исследование основных свойств сложных функций. Классифика­ция элементарных функций (алгебраические, трансцендентные).

Основные преобразования: параллельный перенос (f (х) ^ f (х + а),

f (х) ^ f (х) + b), растяжение/сжатие (f (х) ^ f (kx), f (х) ^ Af (х)), от­ражение (f (х) ^ f (—х), f (х) ^ — f (х)), взятие модуля (f (х) ^ f (|х|), f (х) ^ | f (х)|). Построение графиков суммы, произведения, частного, су­перпозиции элементарных функций.

Лабораторная работа № 1. Свойства элементарных функций. Построение эскизов графиков элементарных функций.

Свойства сходящихся последовательностей, примеры их использования для сравнения скоростей возрастания элементарных функций (степен­ной, показательной и факториала). Примеры последовательностей (схо­дящихся и расходящихся, арифметическая, геометрическая, гармониче­ская прогрессии). Монотонные, бесконечно малые и большие последова­тельности.

Определение предела функции и его свойства. Применение понятия предела (на примерах) для исследования поведения функций в окрестно­стях точек разрыва и на бесконечности. Односторонние пределы (обо­значения и примеры функций, имеющих различные односторонние пре­делы). Определение бесконечно малой (б. м.) и бесконечно большой функции и связь между ними. Свойства бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых функций (понятия и обозначения: эквива­лентности, одного порядка малости и высшего порядка малости двух функций). Разность двух эквивалентных б. м. функций. Сравнение ско­ростей возрастания/убывания элементарных функций, примеры эквива­лентных функций. Неопределенности и методы их раскрытия.

Два замечательных предела и следствия из них. Использование за­мечательных пределов для раскрытия неопределенностей различных типов.

Лабораторная работа № 2. Пределы

3. Производная функции одной переменной (практическое занятие).

Вопросы по тёмё:

Определение производной. Примеры вычисления производной по определению Таблица производных. Правила дифференцирования (про­изводная сложной, обратной, неявной и заданной параметрически функ­ций. Производная степенно-показательной функции. Производная кон­станты, суммы, произведения, частного). Производная n-го порядка.

Лабораторная работа № 3. Производные сложных функций.

3. Правило Лопиталя (практическое занятие).

Вопросы по тёмё:

Теорема Лопиталя и ее использование для раскрытия неопределен­ностей различных видов.

Контрольная работа № 1. Табличные производные и основные правила дифференцирования.

Лабораторная работа № 4. Правило Лопиталя

5. Применение производной для определения точек экстремумов и точек перегиба, промежутков монотонности и выпуклости функ­ций. Общая схема исследования функции (практическое занятие).

Вопросы по теме:

Достаточные условия постоянства и монотонности функции (воз­растания и убывания). Определение точки (особой точки 1 порядка) строгого локального экстремума функции (максимума и минимума). Необходимое условие существования точки экстремума. Критические точки 1-го порядка (точки, подозрительные на экстремум). Достаточные условия 1-го порядка существования точки экстремума. Достаточные условия 2-го порядка существования точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Определения выпуклости/вогнутости функции (два определения) и их смысл. Определение точки перегиба (особой точки 2-го порядка). Достаточные условия выпуклости/вогнутости функции. Необходимые условия существования точки перегиба. Достаточное условие существо­вание точки перегиба.

Таблица соответствия характера поведения графика функции и зна­чений производных 1-го и 2-го порядка на некотором промежутке.

Определение асимптоты графика функции. Порядок нахождения вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

Общая схема исследования функции. Примеры полного исследова­ния функции и построения графика.

Лабораторная работа № 5. Полное исследование функции.