Тема 4. Интегральное исчисление (4 часа)

Нёопрёдёлённый интёграл

Определение первообразной и неопределенного интеграла. Геомет­рический смысл. Совместные свойства операций интегрирования и диф­ференцирования. Таблица интегралов. Свойства неопределенного инте­грала. Замена переменных и подстановка. Примеры. Интегрирование по частям. Типы функций, интегрируемых по частям. Примеры.

Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трех­член. Рациональные дроби. Простейшие дроби и их интегрирование. Раз­ложение рациональной дроби на простейшие (определение правильной и неправильной дробно-рациональной функции, приведение произволь­ной дробно-рациональной функции к сумме многочлена и правильной ра­циональной дроби, метод неопределенных коэффициентов разложения правильной рациональной функции на сумму элементарных (простей­ших) дробей). Интегрирование некоторых классов элементарных функ­ций (содержащих иррациональные и тригонометрические функции).

Определенный интеграл

Понятие интегральной суммы. Определение определенного инте­грала, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Функция верхнего предела. Формула Ньютона — Лейбница. Замена пе­ременных в определенном интеграле. Вычисление определенных интегралов по частям.

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей (в де­картовой, в полярной системах координат, если функция задана парамет­рически). Длина дуги (в декартовой системе координат). Объем тела. Объем тела вращения. Площадь поверхности тела вращения.

Тема 5. Числовые и функциональные ряды (1 час)

Общие сведения

Определение ряда. Типы рядов (числовой, функциональный, сте­пенной). Частичная сумма ряда, остаток ряда. Определение суммы ряда и сходящегося ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов (геометрический, гармонический, ряды). Частичная сумма и сумма членов геометрического ряда.

Числовые ряды

Две теоремы сравнения рядов (с примерами). Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости числового ряда с положитель­ными членами, примеры применения. Знакопеременные ряды, признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда, примеры. Абсолютная и условная сходимости ряда.

Функциональные и степенные ряды

Область сходимости функционального ряда. Теорема Абеля об об­ласти сходимости/расходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда. Формулы вычисления радиуса сходимости (по признакам Даламбера и Коши), примеры.

Ряды и формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Теоремы о сходимости ряда Тейлора и фор­мулы Тейлора. Оценка количества членов ряда для приближенного вы­числения значения функции с заданной точностью (примеры). Ряды Маклорена от элементарных функций (exp(x), sin(x), cos(x),ln(1 + x),

(1 + x) при различных значениях m, arctg(x)) и их радиусы сходимости.

Тема 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких

переменных (2 часа)

Понятиё функции нёсколъких пёрёмённых и частных производных

Понятие функции нескольких переменных и ее геометрическая ин­терпретация, график. Области определения, изменения функции. Замк­нутые/открытые, ограниченные/неограниченные подмножества евкли­дова пространства. Понятие линии (поверхности) уровня функции. Спо­собы изображения. Примеры функций двух переменных, их графики, области определения и изменения, линии уровня (плоскость, сфера, эл­липсоид, эллиптический параболоид, эллиптические гиперболоиды, па­раболический гиперболоид, конус, цилиндры). Мультипликативные и аддитивные функции в экономике (функции полезности, производст­венные функции, функции риска) и их линии уровня. Окрестность точки в n-мерном евклидовом пространстве. Понятие предела функции «-пере­менных. Непрерывность в точке функции «-переменных.

Полное, частное приращения. Понятие частной производной и пра­вило ее вычисления. Геометрический смысл частной производной. Диф­ференцирование сложных функций. Полный дифференциал. Полная производная. Частные производные высших порядков. Матрица Гессе. Смешанные производные и их свойства. Производная по направлению. Градиент функции, его геометрический смысл. Свойства производной по направлению и градиента. Уравнения касательной и нормали к линии уровня функции 2-х переменных. Касательная плоскость. Уравнения нормальной прямой и касательной плоскости к поверхности — графику функции 2-х переменных. Эластичность замещения экономических по­казателей вдоль кривой безразличия, примеры вычисления для мультип­ликативных и аддитивных функций.

Экстремумы функции нескольких переменных

Определение точки строгого локального экстремума функции не­скольких переменных (максимума, минимума). Необходимые и доста­точные условия существования точки строгого локального экстремума функции нескольких переменных, 2-х переменных (3 теоремы). Геомет­рический смысл достаточных условий безусловного экстремума. Приме­ры нахождения безусловного экстремума. Формула Ньютона для приближенного вычисления решений систем нелинейных уравнений и нахождения точек минимума.

Формулировка задачи на условный экстремум. Метод исключения зависимых переменных, метод исключения зависимых дифференциалов, метод множителей Лагранжа в задаче на условный экстремум. Необхо­димые и достаточные условия существования условного экстремума (3 теоремы). Примеры: задача потребительского предпочтения (задача Р. Стоуна), задача инвестирования в три фонда (задача Марковица), зада­ча распределения ресурсов (с использованием производственной функции Кобба — Дугласа).

Приближение функций одной переменной

Аппроксимация, интерполяция функций. Интерполяционная фор­мула Лагранжа. Классификация моделей (линейные, степенные, триго­нометрические, функциональные, нелинейные). Критерии близости объ­екта наблюдения и модели. Метод наименьших квадратов.