Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной

переменной (4 часа)

Понятие функции. Теория пределов

Понятие функции. Область определения и область изменения функ­ции. Интервал. Отрезок. Способы задания функции (аналитический, таб­личный и графический). График функции. Свойства функций (четность, периодичность, нули функции, ограниченность, ограниченность свер­ху/снизу). Корни квадратного трехчлена. Монотонные и строго моно­тонные функции (возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрас- тающие функции). Определение обратной функции. Достаточное усло­вие существования обратной функции (строгая монотонность прямой функции на промежутке). Построение графика обратной функции по графику прямой функции.

Основные элементарные функции. Графики элементарных функций (y — f (х): степенных функций (y — х²ⁿ,y — x²"^_1), функций «радикал» (y — x^1ln,y — x^'²" ''), функций «гипербола» (y — x^—2",y — x ⁽²" ^), пока­зательных функций (y — a^x (а > 1,0 < a <1), экспоненты y — e^x), логариф­мических функций (y — log _ax (a > 0, 0 < a < 1), натурального лога­рифма y — ln(x), десятичного логарифма y — lg(x)), тригонометрических

функций (y — sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x)), обратных тригонометрических функций (y — arcsin(x), arccos(x), arctg(x),arcctg(x)), функции «модуль» (y — |x|), функции «знак числа» (y — sign(x)или y — x/|x|), квадратичной

функции (y — ax² + bx + c, выделение полного квадрата), дробно-линей-

„ , , ac + b ной функции (y — , выделение целой части и правильной рацио-

cx + d

нальной дроби). Области определения и изменения, свойства элементар­ных функций. Определение сложной функции (суперпозиции функций). Классификация элементарных функций (алгебраические, трансцендент­ные).

Преобразование графиков функций: параллельный перенос (f (x) ^ f (x + a), f (x) ^ f (x) + b), растяжение/сжатие (f (x) ^ f (kx),

f (x) ^ Af (x)), отражение (f (x) ^ f (—x), f (x) ^ — f (x)), взятие моду­ля (f (x) ^ f (|x|), f (x) ^ | f (x)|). Построение графиков суммы, произве­дения, частного, суперпозиции элементарных функций.

Неявно заданные функции одной переменной и их графики.

Определение последовательности, ее обозначения. Определение предела последовательности. Определение сходящейся последователь­ности. Определения монотонной, ограниченной последовательностей. Свойства сходящихся последовательностей, примеры их использования для сравнения скоростей возрастания элементарных функций (степен­ной, показательной и факториала). Примеры последовательностей (схо­дящихся и расходящихся, арифметическая, геометрическая, гармониче­ская прогрессии). Монотонные, бесконечно малые и большие последова­тельности. Доказательство существования 2-го замечательного предела (число ё). Паутинообразная модель рынка (дискретный случай исследо­вания колебаний спроса, предложения и цены вокруг точки рыночного равновесия).

Определение предела функции и его свойства. Применение понятия предела (на примерах) для исследования поведения функций в окрестно­стях точек разрыва и на бесконечности. Односторонние пределы (обо­значения и примеры функций, имеющих различные односторонние пре­делы). Определение бесконечно малой (б. м.) и бесконечно большой функции и связь между ними. Свойства бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых функций (понятия и обозначения: эквива­лентности, одного порядка малости и высшего порядка малости двух функций). Разность двух эквивалентных б. м. функций. Два замечатель­ных предела (первый с доказательством) и следствия из них. Сравнение скоростей возрастания/убывания элементарных функций, примеры эквивалентных функций. Неопределенности и методы их раскрытия (на примерах).

Определения непрерывной функции в точке (два определения) и на промежутке. Односторонняя непрерывность. Определение непрерывно­сти функции на интервале и на отрезке. Локальные свойства непрерывных функций. Свойства непрерывных на отрезке функций. Классификация то­чек разрыва. Примеры функций, имеющих точки разрыва 1 и 2 рода.

Понятие производной функции. Исследование функций

Определение производной. Определение функции, дифференцируе­мой в точке и на промежутке. Примеры вычисления производной по оп­ределению (например, для функций y — х³, y — sin(х), y — ln(x)). Табли­ца производных. Правила дифференцирования (производная сложной, обратной, неявной и заданной параметрически функций. Производная степенно-показательной функции. Производная константы, суммы, про­изведения, частного). Производная n-го порядка. Гиперболические функции. Теорема Лопиталя и ее использование для раскрытия неопре­деленностей различных видов. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке, пример. Физико-математический смысл производной, связь производ­ной со скоростью возрастания/убывания функции. Экономический смысл производной (предельные величины, темп, эластичность функции и их связь с производной). Обоснование необходимости введения поня­тий темпа и эластичности. Связь производной, темпа и эластичности. Темп изменения функций с постоянной и показательной скоростью воз­растания (линейных и показательных функций). Эластичность линей­ных, степенных функций и функций гиперболического вида y — 1/х^а. Эластичность спроса по цене. Связь изменения дохода с эластичностью спроса по цене. Эластичность замещения экономических показателей вдоль кривых безразличия.

Достаточные условия постоянства и монотонности функции (возрас­тания и убывания). Необходимое условие существования точки экстрему­ма. Критические точки 1-го порядка (точки, подозрительные на экстре­мум). Достаточные условия 1-го порядка существования точки экстрему­ма. Достаточные условия 2-го порядка существования точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Определения выпуклости/вогнутости функции (два определения) и их смысл. Определение точки перегиба (особой точки 2-го порядка). Достаточные условия выпуклости/вогнутости функции. Необходимые условия существования точки перегиба. Достаточное условие существо­вание точки перегиба. Таблица соответствия характера поведения графи­ка функции и значений производных 1-го и 2-го порядка на некотором промежутке.

Определение асимптоты графика функции. Порядок нахождения вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот. Примеры. Функ­ции зависимости спроса от дохода (четыре функции Торнквиста) и их асимптоты.

Общая схема исследования функции. Примеры полного исследова­ния функции и построения графика.

Определение дифференциала функции. Геометрический смысл диф­ференциала и его связь с приращением функции. Свойства дифферен­циала. Инвариантность формы дифференциала.

Приближенное вычисление вещественных корней уравнений. Мето­ды половинного деления, хорд, Ньютона, итераций.