Экзаменационные билеты по теоретическому материалу для итоговой аттестации

Студент получает оценку «хорошо» или «отлично» только после по­ложительного ответа на один из предлагаемых билетов. Билеты можно использовать для приема зачетов

Билет № 1

1. Исследование общего уравнения линий второго порядка. Приме­ры линий, уравнения которых являются уравнениями второго по­рядка. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду.

2. Линейные ДУ и уравнение Бернулли. Решение методом вариации произвольной постоянной. Модель естественного роста производ­ства. Рост производства при постоянной цене. Рост производства в условиях конкуренции.

Билет № 2

1. Двойственная задача в модели Леонтьева. Основное тождество модели Леонтьева. Критерии продуктивности матрицы прямых затрат.

2. ОДУ 1-го порядка. Определения решения, общего, частного реше­ния, интегральной кривой. Задача Коши. Качественное исследова­ние ДУ 1-го порядка. Изоклины, поле направлений. Пример.

Билет № 3

1. Гипербола (определение, исследование формы, асимптоты, фоку­сы, эксцентриситет, полуоси, сопряженные гиперболы).

2. Решение неоднородного линейного ДУ 2-го порядка с постоянны­ми коэффициентами. Нахождение частного решения неоднород­ного линейного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части.

Билет № 4

1. Евклидово пространство, скалярное произведение векторов. Нор­мированное пространство. Норма или длина вектора в евклидовом пространстве. Расстояние между точками. Неравенство Коши — Буняковского, угол между векторами.

2. Решение неоднородного линейного ДУ 2-го порядка с постоянны­ми коэффициентами. Нахождение частного решения неоднород­ного линейного ДУ методом вариаций произвольных постоянных.

Билет № 5

1. Определение определителей 2-го и 3-го порядка. Алгебраические дополнения и миноры. Определение определителя n-го порядка. Формулы разложения определителя по строке или столбцу. Свой­ства определителей.

2. Однородные ОДУ 1-го порядка. Уравнения, приводящиеся к од­нородным. Примеры. Модель изменения макроэкономических по­казателей (типа Солоу).

Билет № 6

1. Окружность (определение, общее уравнение, условия существо­вания). Эллипс (определение, исследование формы, эксцентриси­тет, фокусы, полуоси).

2. ОДУ 2-го порядка. Вид общего решения неоднородного линейно­го ДУ с постоянными коэффициентами. Однородное линейное ДУ с постоянными коэффициентами. Вид частного решения. Харак­теристическое уравнение. Вид общего решения для различных случаев комплексных и действительных корней характеристиче­ского уравнения.

Билет № 7

1. Определения и обозначения матрицы, элемента матрицы, транс­понированной матрицы, квадратной матрицы, порядка матрицы, единичной матрицы, диагональной матрицы, треугольной матри­цы, обратной матрицы. Действия над матрицами (умножение на число, сложение и умножение матриц). Свойства операций. Фор­мула вычисления обратной матрицы.

2. Три формы записи комплексных чисел (алгебраическая, тригоно­метрическая и показательная). Действия над комплексными чис­лами в различных формах.

Билет № 8

1. Определение, общий вид и различные формы записи системы ли­нейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Определение реше­ния системы. Какие системы называются однородными/неодно­родными, совместными/несовместными, определенными/неопре­деленными. Необходимое и достаточное условие существования единственного решения СЛАУ. Условие существования решений, отличных от тривиального однородной СЛАУ. Методы обратной матрицы, Крамера решения СЛАУ.

2. Парабола (определение, директриса, фокус, параметр параболы, вершина, направление ветвей параболы).

Билет № 9

1. Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Задачи, решаемые с помощью модели Леонтьева. Критерии продуктивности матри­цы прямых затрат.

2. Линейные пространства. Определения, примеры линейных про­странств. Линейная комбинация векторов. Линейная зависи­мость/независимость векторов. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора. Условие линейной независи­мости векторов в координатной форме. Прямое и обратное преоб­разования координат при переходе к новому/старому базису. Мат­рица линейного преобразования векторов.

Билет № 10

1. Определение, общий вид и различные формы записи системы ли­нейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Определение реше­ния системы. Какие системы называются однородными/неодно­родными, совместными/несовместными, определенными/неопре­деленными. Необходимое и достаточное условие существования единственного решения СЛАУ. Условие существования решений, отличных от тривиального однородной СЛАУ. Метод Гаусса ре­шения систем линейных уравнений.

2. Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Задачи, решаемые с помощью модели Леонтьева. Критерии продуктивности матри­цы прямых затрат. Приближенное вычисление матрицы полных затрат с помощью ряда.

Билет № 11

1. Комплексные числа. Основные положения. Геометрическое изо­бражение комплексного числа на комплексной плоскости. Сопря­женные числа. Модуль (длина) и аргумент (угол) комплексного числа. Комплексная плоскость. Три формы задания комплексного числа. Свойства корней алгебраических уравнений.

2. Скалярное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Условия параллельности и ортогональности двух векторов. Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Смешанное произведение. Объем параллелепипеда.