Свойства векторного произведения:

1. , т.е векторное произведение не обладает переместительным свойством;

2. (коллинеарность нулевых векторов);

3. сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю;

4. распределительное свойство;

Векторные произведения ортов :

Векторное произведение векторов

удобнее всего находить по формуле:

Смешанным произведением векторов , , называется ска­лярное произведение вектора на вектор .

Модуль смешанного произведения векторов , , равен объе­му параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

- хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю;

- перемножаемые векторы коллинеарны;

- , , - компланарны.

2. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять мес­тами знаки векторного (х) и скалярного (•) умножения, т.е. . В силу этого свойства смешанное произведение векторов , , условимся записывать в виде .

3. Смешанное произведение не изменится, если переставлять пере­множаемые векторы местами, следующим образом .

4. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак: .

Пусть векторы заданы их разложениями по ортам:

Тогда:

Из свойств смешанного произведения трех векторов вытекает сле­дующее:

- необходимым и достаточным условием компланарности трех век­торов служит условие

- Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , и объем образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам:

Решение типовых задач

Пример 1: Найти скалярное произведение векторов

Решение: находим скалярное произведение этих векторов

. Так как

Пример 2: Даны векторы: . При каком значении mэти векторы перпендикулярны?

Решение: находим скалярное произведение этих векторов

Следовательно, 7m-28=0 и m=4.

Пример 3: Найти векторное произведение векторов

Решение: имеем:

Пример 4: Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах:

Решение: находим

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то:

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

1. Как записать разложение вектора , соединяющего точки А(3;5;7) и

В(-3;0;-2) по ортам?

2. Когда векторы являются коллинеарными?

3. В каком случае векторы называются линейно независимыми?

4. Могут ли 4 вектора на плоскости быть линейно независимыми?

5. Являются ли орты компланарными?

6. Смешанное произведение - это вектор или число?

7. Скалярное произведение - число иливектор?

8. Модуль векторного произведения - это число или вектор?

9. Определите угол между векторами (8;1;0) и (1;2;1)

10. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах

как на ребрах.

11. Лежат ли векторы (3;2;1), (1;0;0) и (2;1;3) в одной плоско­сти?

Элементы аналитической геометрии

§1. Прямая на плоскости

Если на плоскости произвольно введенадекартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат хи у

Ах + Ву + С =0,

г де А и В одновременно не равны нулю, определяют прямую в этой системе координат.

1) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору ;

1. A x+By+C=0 – общее уравнение прямой;

3) – уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору {каноническое уравнение прямой);

4 ) – параметрические уравнения прямой;

5 ) – уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях Ох и Оу соответственно;

6) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки и ;

7) – уравнение прямой, проходящей через точку , k - угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох;

8) у = kx + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу;

9) – тангенс острого угла между двумя прямыми

и ;

10) и – условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и ;

11) – расстояние от точки до прямойАх + By + С = 0;

12) , , ≠ –1 - координаты точки М(х, у), делящей отрезок в отношении , , ;

13) , – координаты середины отрезка , , .

14) – уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и .

Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости заданы точкаМ₀(х₀;у₀)и прямаяАх + Ву+ С = 0. Под расстояни­ем от точки М₀ до прямойАх + Ву+ С = 0при­нимается длина перпендикуляра, опущенного из точки М₀на прямую. Данное расстояние можно определить по формуле:

Пример: Даны вершины А(2; 1), В(6; 3), С(4; 5) треугольника.

Найти:

1) уравнение и длину стороны АВ;

2) уравнение высоты, проведенной из вершины С;

3) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

4) длину высоты, опущенной из вершины С;

5) величину внутреннего угла А;

6) площадь треугольника АВС.

Решение.

1) Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками

А и В.

.

Уравнение прямой АВ найдем по формуле уравнения прямой проходящей через две точки.

.

2) Уравнение высоты, проведенной из вершины С можно найти по формуле уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку и так как СD перпендикулярно АВ а угловой коэффициент АВ можно найти .

Тогда у – 5 = - 2(х - 4), или 2х + у – 13 = 0.

3) Для определения уравнения медианы СМ найдем координаты точки М, которая делит отрезок АВ пополам

Медиана СМ проходит через две точки С(4; 5) и М(4; 2). Так как абсциссы этих точек равны можно сделать вывод, что прямая СМ параллельна оси ОУ и ее уравнение имеет вид х = 4.

4) Чтобы найти длину высоты, опущенной из вершины С, воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой. Уравнение прямой АВ имеет вид х – 2у = 0, С(4; 5). .

5) Величину внутреннего угла А найдем как угол между двумя прямыми АС и АВ. Уравнение прямой АВ известно, оно имеет вид х – 2у = 0. Составим уравнение прямой АС, воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

.