§2. Векторное пространство

Обобщением понятия вектора служит N-мерный вектор, которым называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x=( ), где xi – i-я компонента вектора x. Необходимо знать, что линейные операции над n-мерными векторами удовлетворяют 8 аксиомам ([1], п3.2,с69), схожими с аксиомами для действительных чисел, уяснить понятие векторного пространства.

Чтобы перейти к понятию базиса, необходимо рассмотреть понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов (число n).

Базисом называется совокупность n линейно независимых векторов n – мерного пространства.

В данной теме важной является следующая теорема:

Каждый вектор x линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса, т. е.

X=x₁e₁ + x₂e₂+ …..x_ne_n

Пример: Дано:

Найти координаты вектора (x, y, z) в базисе a₁,a₂,a₃ .

Решение:

1.Докажем, что базис.

Составим линейную комбинацию _, подставляя координаты векторов a₁,a₂,a_{3 ,}

получим систему вида

Можно решить систему методом Гаусса и по значениям α сделать вывод, а можно воспользоваться теорией однородных систем уравнений, т. е.

А= ; наша однородная система имеет только нулевое решение, т. е. все α =0 в линейной комбинации, значит, образуют базис.

2. Найдём координаты вектора в базисе , . В силу теоремы вектор можно разложить по векторам базиса , другими словами представить его в виде линейной комбинации векторов ,что равносильно системе :

Решая данную систему, имеем

Ответ:

Если в векторном пространстве ввести метрику, т. е. способ измерения длин и углов, с помощью скалярного произведения, то получим Евклидово пространство.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы e₁, e₂,…..e_n n- мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма (длина) каждого из них равна единице.

Контрольные вопросы для самопроверки:

1. Понятие вектора (геометрическое толкование).

2. Понятие равных, коллинеарных, компланарных векторов.

3. Операции над векторами.

4. Векторы, заданные в координатной форме (определение и операции).

5. Коллинеарность и ортогональность векторов.

6. Понятие векторного пространства.

7. Линейная зависимость, независимость векторов.

8. Базис и размерность векторного пространства.

9. Координаты вектора в базисе.

10. Евклидово пространство.

11. Ортогональный и ортонормированный базис.

§3. Декартова система координат

На практике Вы встречаетесь с величинами двух типов: для зада­ния одних достаточно числа, например, температура C°=36,6, для за­дания других требуется указать и направление - например: сила или скорость. Величины первого типа называются скалярными, авторо­го - векторными.

Под вектором будем понимать направленный отрезок, который обозначим а.

Свободный вектор a (т.е. такой вектор, который без изменения длины и направления, может быть перенесен в любую точку про­странства), заданный в координатном пространстве Охуz, может быть представлен в виде:

,

где , , - проекции вектора а на соответствующие оси координат (их называю координатами вектора а), , орты этих осей (единичные векторы, направление каждого из ко­торых совпадает с положительным направлением соответствующей оси).

Такое представление вектора а, на­зывается разложением по ортам.

Длина (модуль) вектораа обозначается и определяется поформуле:

Направление вектора а определяется углами образован­ными им с осями координат Косинусы этих углов (на­правляющие косинусы вектора) определяются по формулам:

Направляющие косинусы вектора связаны соотношением:

cos²а + cos² + cos² = 1

Найдем координаты вектора, соединяющего точки А(1;2;3) и М(3;4;3). Искомый вектор можно записать так:

= (3-1) + (4 - 2) + (3 - 3) =

Если векторы и заданы разложением по ортам, то их сумма и разность определяются по формулам:

+ =(а_х + b_х) +(а_y + b_y) +(а_z + b_z)

- =(а_х - b_х) +(а_y - b_y) +(а_z - b_z)

С умма любого числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (смотри рис).

Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называют коллинеарными.

Произведение вектораана скалярный множитель m, определяет­ся формулой

Заметим, что векторы а и та параллельны (коллинеарны) и на­правлены в одну и тужесторону, если m>0, и в противоположные стороны, если m<0.

Пример 1: Найти длину вектора а и его направляющие косинусы.

cos = cos = cos =