Действия над матрицами

Одноразмерные матрицы можно складывать.

Алгебраической суммой двух матрицA_mn=(a_ij) иB_mn=(b_ij)называется матрица C_mn=(c_ij)такая, что c_ij= a_ij+ b_ij (i=1,2..m, j=1,2…n)

=

=

Пример:

А= В=

С=А+В=

Операция сложения одноразмерных матриц обладает следующими свойствами:

-коммутативность (переместительный закон) А+В=В+А

-ассоциативность (сочетательный закон)

(А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С

-А+0=А

Произведением матрицы A_mn=(a_ij) на число k называется матрица

B_mn=(b_ij) такая, что b_ij= ka_ij( i=1,2..m, j=1,2…n ). Т.е. Произведением числа k на матрицу А называется матрица, определяемая равенством:

k =

Пример:

А= , число k=2, 2А=

Матрица (–А), все элементы которой получены путем умножения соответствующих элементов матрицы А на (-1) называется матрицей противоположной А.

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

- 1А=А

- (А+В)=А+В

-(+)А=А+А

-()А=(А)

- А+( - А)=0

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы A_mn=(a_ij) на матрицу В_np=(b_jk) называется матрица С_mp=(c_ik) такая, что c_ik=a_i1b_1k+a_i2b_2k+…+a_inb_nk, где i=1,2..m, k=1,2,..

…p, т.е. элемент i-й строки и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.

Иными словами: Произведение двух матриц А и В обозначается символом АВ и определяется равенством:

AB = =

=

Пример: А= В= С=АВ=

с₁₁=35+1(-2)+2(-2)=9

с₁₂=31+13+22=10

с₁₃=30+11+20=1

с₂₁=-15+0(-2)+7(-2)=-19

с₂₂=-11+03+72=13

с₂₃=-10+01+70=0

Если матрицы А и В - квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

- АВВА, если данное равенство выполняется, то матрицы А и В называют перестановочными (обладают свойством коммутации);

-А(ВС)= (АВ)С (ассоциативность);

- А(В+С)=АВ+АС (дистрибутивность умножения относительно сложения);

-АЕ=А

-(АВ)= (А)В.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строк столбцами с с сохранением нумерации, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается А^Т (А).

Пусть дана матрица А_nm= , тогда

A^Т_mn=

Пример: Вычислить матрицу:D=AB^T – 2E + C²,

если

Решение:

1. Составим матрицу В^Т, поменяв строки и столбцы матрицы Вместами с сохранением нумерации В^Т=

2. Найдем произведение матриц AB^T

3. Найдем произведение 2Е=

4. Найдем матрицу С²= СС

5. Найдем матрицу D=AB^T – 2E + C², подставив найденные матрицы

Ответ:

Пример: А= . Найдём обратную матрицу для А с помощью элементарных преобразований.

Для этого припишем к матрице А единичную матрицу и будем применять элементарные преобразования к обеим матрицам А и Е так, чтобы на месте матрицы А получить единичную матрицу. Тогда на месте единичной матрицы получится обратная матрица А^-1.

Итак, нашли .