Часть 2. Самостоятельная работа

57. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию (единиц в месяц) от ее цены (тысяч рублей) задается формулой . Определите максимальный уровень цены (в тысячах рублей), при котором значение выручки предприятия за месяц составит не менее 440 тысяч рублей.

58. Зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением , где , , . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2 000 прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

59. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана – Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: , где – числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура – в кельвинах. А мощность – в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь , а излучаемая ею мощность не менее , определите наименьшую возможную температуру этой звезды.

60. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой , где , – постоянные параметры, – расстояние от машины до камня, считаемое по горизонтали, – высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетели через нее?

61. Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле . Компания продает свою продукцию по цене рублей за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют рублей за штуку, постоянные расходы предприятия рублей в месяц. Определите наименьший месячный объем производства (штук), при котором прибыль предприятия будет не меньше 500 000 рублей в месяц.

62. При вращении ведерка с водой на веревке в вертикальной плоскости сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила ее давления на дно будет положительной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления равна , где – масса воды, – скорость движения ведерка, – длина веревки, – ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась из него, если длина веревки равна 78,4 см? Ответ выразите в м/с.

63. При температуре рельс имеет длину . При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где – коэффициент теплового расширения, – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6,3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

64. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону м ( – высота в метрах, – время в секундах, прошедшее с момента броска). Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?