Занятие 3

Часть 1. Аудиторная работа

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию (единиц в месяц) от ее цены (тысяч рублей) задается формулой . Определите максимальный уровень цены (в тысячах рублей), при котором значение выручки предприятия за месяц составит не менее 360 тысяч рублей.
В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран, из которого может вытекать вода, при этом высота столба воды в нем меняется по закону , где – время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?
Зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением , где , , . Известно, что при температурах нагревателя свыше 1 000 прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой . При каком наименьшем значении температуры нагревателя КПД этого двигателя будет не менее 80%, если температура холодильника ?
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями и их общее сопротивление задается формулой , а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана – Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: , где – числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура – в кельвинах, мощность – в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь , а излучаемая ею мощность не менее , определите наименьшую возможную температуру этой звезды.
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле , где – уровень воды в м, а – время падения камушка в с. До дождя время падения камушков составляло 1 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось не менее чем на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на большие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, сила Архимеда, действующая на аппарат, будет определяться по формуле: , где – линейный размер аппарата (длина ребра куба), – плотность воды, а – ускорение свободного падения. Каковы могут быть максимальные линейные размеры аппарата (в метрах), чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не будет превосходить 2 116 800 Н?
В боковой стенке высокого цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака. При этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону , где – прошедшее время (в секундах), – начальная высота столба воды, – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а – ускорение свободного падения. К какому моменту времени в баке останется воды не более чем четверть первоначального объема? Ответ выразите в секундах.
Камнеметательная машина выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полета камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой , где , – постоянные параметры, – расстояние от машины до камня, считаемое по горизонтали, – высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над ней на высоте не менее 1 метра?
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального – массой и радиуса – и двух боковых массами по , радиусов . При этом момент инерции катушки (в кг∙см²) относительно оси вращения определяется как . При каком максимальном значении (в см) момент инерции катушки не превышает предельных для нее 625 кг∙см²?
Камень брошен вниз с высоты 36 м. Пока камень не упал, его высоту можно находить по формуле ( – высота в метрах, – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень будет падать.
Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле . Компания продает свою продукцию по цене рублей за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют рублей за штуку, постоянные расходы предприятия рублей в месяц. Определите наименьший месячный объем производства (шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 600 000 рублей в месяц.
При температуре рельс имеет длину . При прокладке путей (рельсы укладывали при ) между рельсами оставили зазор в 4,5 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса и его длина будет меняться по закону , где – коэффициент теплового расширения, – температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону м. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более четырех метров?
Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону . В лаборатории получили вещество, содержащее мг изотопа меди-64, период полураспада которого равен 12,8 ч. В течение скольких часов количество изотопа меди-64 в веществе будет превосходить 3 мг?