Пункт 6. Показательная форма записи комплексного числа.
Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой
|
|
которая носит название формулы Эйлера.
Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .
Пример 16. Пусть . Напишите показательную форму числа .
Решение.
Находим модуль и аргумент числа:
Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:
Пример 17. Комплексное число записано в показательной форме
Найдите его алгебраическую форму.
Решение.
По формуле Эйлера
Итак, алгебраическая форма числа: .
Отметим также, что комплексные числа и равны одно другому тогда и только тогда, когда r1 = r2 и φ1 = φ2 + 2πk, где k - целое число.
Сопряженное комплексное число в показательной форме можно записать в виде
Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются следующим образом:
Составить сравнительную таблицу арифметических действий над комплексными числами в различных формах их записи.
Арифметическое действие |
Форма записи комплексного числа |
||
Алгебраическая |
Тригонометрическая |
Показательная |
|
Равенство |
|
|
|
Сложение |
|
|
|
Вычитание |
|
|
|
Умножение |
|
|
|
Деление |
|
|
|
Возведение в степень |
|
|
|
Извлечение корня |
|
|
|