1. Метод половинного деления

Пусть дано f(x)=0 , функция непрерывна на [a,b] и f(a)f(b)<0.

А

лгоритм метода:

1. Вычисляют абсциссу x_c средней точки, делящей отрезок [a_i ,b_i] пополам

x_c = (x_a+x_b)/2 ;

2. Вычисляют значение функции f(x_c) в средней точке;

3. Если f(x_c) f(x_b) > 0 , то отрезок [x_c , x_b] можно отбросить, как не содержащий корня, выполнив присвоение x_b= x_c .Таким образом, правая граница будет смещена влево на половину интервала. В противном случае отбрасывают отрезок [x_a , x_c] с помощью присвоения x_a= x_c .

4. Если |x_b - x_a| >  , то цикл повторяют, начиная с п.1, в противном случае считают, что найденное значение и есть корень уравнения этого интервала, вычисленный с точностью .

Достоинства метода: простота алгоритма, высокая надежность отыскания корня. Недостаток – большое количество шагов итераций.

2.Метод хорд ( пропорциональных частей)

Алгоритм метода:

1. О

   Метод хорд

   дну из граничных точек принимают за неподвижную точку x_c . Обычно это точка, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. f(x_c) f’’(x_c) > 0. Тогда вторую граничную точку принимают за начальное приближение x₀ , в ней

f(x_c) f’’(x_c) < 0 ;

2. Каждое следующее значение абсциссы x_i+1 вычисляют как точку пересечения хорды, соединяющей неподвижную точку x_c и крайнюю текущую точку кривой x_i , с осью абсцисс по формуле:

3. Если |x_i+1 – x_i | >  , то цикл повторяют, начиная с п.2, в противном случае считают, что найденное значение и есть корень уравнения этого интервала, вычисленный с точностью .

М

Метод Ньютона

етод обладает теми же достоинствами и недостатками, как и предыдущий.

Пример: найти положительный корень с точностью до 0,002

3.Метод касательных (метод Ньютона)

Здесь необходимо требование , что первая и вторая производные непрерывны и сохраняют знаки на выбранном промежутке.

Формула метода может быть получена из предположения , что поправка h мала и можно использовать формулу Тейлора

Алгоритм метода:

1. За начальное приближение x₀ принимают граничную точку, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. f(x₀)f’’(x₀)>0 ;

2. Каждое следующее значение абсциссы x_i+1 вычисляют как точку пересечения касательной, проведенной в текущей точкой кривой x_i , с осью абсцисс по формуле:

3. Если |x_i+1 – x_i | >  , то цикл повторяют, начиная с п.2, в противном случае считают, что найденное значение и есть корень уравнения этого интервала, вычисленный с точностью .

Достоинства метода: простота алгоритма, высокая скорость сходимости. Недостатки: необходимость отыскания первой производной в аналитической форме, ненадежность отыскания корня в указанном диапазоне. На рис.3 показано, что в случае проведения касательной в точке b , она может пересечься с осью x в точке c, лежащей за пределами выбранного интервала [a,b], и корень может быть найден совсем в другом интервале.

Замечание: видно , что чем больше величина первой производной в окрестности данного корня , тем меньше «поправка» к искомому значению корня. Поэтому метод Ньютона удобно применять тогда , когда в окрестности данного корня график уравнения имеет большую крутизну. Когда кривая уравнения вблизи пересечения с осью Ох почти горизонтальна , применять метод Ньютона не рекомендуется.