Добавил:

Xer1t Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Теория механизмов и машин

Файл:

Экзамен / TMM_otvety_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.11.2019

Размер:

1.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

	y	3				II
	3 M	3	C	4		II
2	B		C	4
2		q3		4		II	Особое или сингулярное положение
А	2		D	4		II

					5		(если	АВ+ВС=ОА+ОС	при
1	q1		E	q2	5	x	(если	АВ+ВС=ОА+ОС	при
	O						определенном q сборки совпадают).

А	Рис. 2.2	B 1
	q1		M= -1

M=1 O

B 2

В механизме, в котором существует особое положение, после его прохождения возможна перемена способа сборки и, следовательно, реализация побочного решения групповых уравнений.

Рис. 2.5

Следует избегать такого сочетания размеров, при котором возможно особое положение.

Трехподвижная платформа.

Две разные конфигурации группы:

АВСD: АВ1С1D и АВ2С2D.

Билет №10. Решение уравнений геометрического анализа для одноподвижных и многоподвижных механизмов методом Ньютона.

Решение групповых уравнений на ЭВМ

Пусть одно решение групповых уравнений механизма уже получено.

				Координаты,
B1		C1		соответствующие	этому
B1	C2	C1		положению,	обозначим
А	C2	q3	D	знаком (): q1=q1, q2=q2*,
А	q3		D	q3=q3, 2=2, 3=3*.
q1		E	q2
O	B2	E	q2
O	B2			Дадим	малые
				Дадим	малые
	Рис. 2.6			приращения	входных
				координат q1, q2, q3.
Получим новые	значения	входных		координат: q1=q1*+ q1,	q2=q2*+ q2,

q3=q3*+ q3.

Тогда решение 2 и 3 будет единственным, поскольку второе положение механизма, соответствующее тем же приращениям координат q1, q2 и q3, окажется далеким от исходного положения механизма.

Определим малые приращения 2 и 3 из групповых уравнений:

xA l2 cos(2* 2 ) l3 cos(3* 3 ) xD l4 cos(3* 3 q3* q3 ) 0; yA l2 sin(2* 2 ) l3 sin(3* 3 ) yD l4 sin(3* 3 q3* q3 ) 0.

При этом предположим, что приращения хА, уА, хD, уD уже получены решением групповых уравнений групп I и II.

Или в обобщенной форме:F( ,ξ,q3) 0 ,						(2.11)
					xA
	F	;	2	;ξ	xD
где F, ,ξ, – векторы-столбцы:F	1	;	2	;ξ		.
	F				yA
	2		3

					yD

При этом F1( ,ξ,q3 ) xA l2 cos 2 l3 cos 3 xD l4 cos( 3	q3 ) ;
F2 ( ,ξ,q3 ) yA l2 sin 2 l3 sin 3 yD l4 sin( 3 q3) .	(2.12)
Мы ищем решение векторного уравнения
F( * ,ξ* ξ,q3* q3) 0,	(2.13)

Метод Ньютона или метод касательных. В соответствии с этим методом

(k+1)-е

приближение

для

связывается

k-м

приближенным

соотношением (k 1) (k )

F 1

q3 ,

k = 1, 2,

F * (k ) ,ξ* ξ,q3*

Доказано, что в достаточно малой окрестности исходного решения *

последовательность

(2.14) сходится, причем

обеспечивается квадратичная

сходимость. Выражение

* (k ) ,ξ*

ξ,q3* q3 .

представляет собой матрицу Якоби для системы (2.11).

Для рассмотренных групповых уравнений

F1( ,ξ,q3 ) xA l2 cos 2 l3 cos 3 xD l4 cos( 3 q3 ) ;

F2 ( ,ξ,q3 ) yA l2 sin 2

l3 sin 3

yD l4 sin( 3

q3) .

(2.12)

l2 sin 2

l3 sin 3 l4 sin( 3

q3 )

cos

cos(

) .

(2.15)

Определитель этой матрицы (якобиан) определяется выражением

2 q3) .

(2.16)

det

l2 l3 sin(3 2 ) l4 sin(3

det

Рис.27

П обочное

И скомое

а)

б)

реш ение

Рис 2.8

Рис. 2.9

На рис. 2.8 дана условная геометрическая интерпретация метода Ньютона, относящаяся к случаю, когда векторы F и – одномерные.

Для того, чтобы избежать многократного вычисления матрицы F k1 ,

обратной матрице Якоби, можно пользоваться модифицированным методом Ньютона (методом секущих), при котором используется процедура, соответствующая формуле

								F 1
			(k 1) (k )							F * (k ) ,ξ* ξ,q3* q3 ,
			(k 1) (k )							F * (k ) ,ξ* ξ,q3* q3 ,
									*
где	F			F	,ξ	,q	.
где					,ξ	,q	.
					* *	3*
		*

k = 1, 2, … .

(2.17)

Положение механизма, близкое к исходному, не может быть получено описанным выше способом, если определитель матрицы Якоби обращается в ноль. Это – особое (сингулярное) положение

группы АВСD.

Пример с ползунно-кривошипным механизмом.

Вход q xB.

Вмеханизме две структурные группы:

однозвенная одноподвижная (ползун 3)

двухзвенная группа Ассура типа ВВВ (звенья 1 и 2).

Такой механизм при одном значении q может принимать две различные конфигурации: ОА1В и ОА2В, причем без разборки механизма.

Составим выражения для F:

		F1( ,q)				l1 cos 1		l2 cos 2				q
		F F ( ,q)				l sin l sin				2	y			,
		2				1	1	2		2			B
1		. Матрица Якоби:
где φ	2	. Матрица Якоби:
	2
			F	l1 sin 1			l2 sin 2
				l cos			l	cos	.
				l cos			l	cos	.
					1	1	2		2

Определитель матрицы Якоби (якобиан):

l1l2 sin 1 cos 2 l1l2 cos 1 sin 2 l1l2 sin( 2 1) .

Отсюда видно, что якобиан обращается в 0 тогда, когда все три шарнира находятся на одной прямой (sin( 2 – 1) = 0 – особое положение группы

ВВВ).

Найдем обратную матрицу:

																																		1			cos 2			1			sin 2
		1									l cos						l sin
		1			1						l cos				2		l sin					2				1									l						l
	F				1						2				2		2					2				1						1								1
																																1
	φ		l l	sin(				)			l		cos				l			sin			sin(						)					1						1
			1 2				2		1			1			1		1					1						2		1								cos						sin
			1 2				2		1			1			1		1					1						2		1						l		cos				l		sin
																																				l	2		1			l		1
Тогда																																					2			2
Тогда
																	1					k	1						k
		(k 1)						(k )												cos 2						sin 2				l				cos k l						cos k q
		(k 1)						(k )					1					l		cos 2				l		sin 2				l				cos k l						cos k q
		1				1							1				1						1										1				1		2					2

										sin( k							1						1
										sin( k				k )			1						1															k					k
		2				2							2		1						cos 1k						sin 1k				l1 sin 1								l2 sin 2					yB
		2				2							2		1				l		cos 1k				l		sin 1k				l1 sin 1								l2 sin 2					yB
																	2									2
где		k		k ,					k			2*		k		, k = 0,1,2, … . В особом положении (т.е.
		1	1*			1			2			2*			2

при sin( 2 – 1) = 0) данный метод не работает.

Билет №11. Кинематический анализ механизмов (плоских одноподвижных). Аналоги скоростей и ускорений. Примеры механизмов с внешним и внутренним входом.

Задачей кинематического анализа является определение скоростей и

	А			ускорений точек механизма, угловых
y	А			скоростей и угловых ускорений его
y	1	2		скоростей и угловых ускорений его
	1	2		звеньев.
				звеньев.
O	q В	x		Синусный механизм.
O				Функция положения точки B:
			3	Функция положения точки B:
			3
	Рис. 2.10			xB 1 cosq x (q) .
				xB 1 cosq x (q) .

Дифференцируя ее по времени, получим скорость точки В:

	dxB		x q	dq

xB		1 sin q q	q		x q q .
	dt			dt

Продифференцировав по времени xB , получим ускорение точки В:

d 2 xB

1 sin q

1 cosq (q)

dt2

2 x

x (q)

d 2q

(q) q2

(q) q.

x – аналог скорости или первая геометрическая передаточная функция;

x – аналог ускорения или вторая геометрическая передаточная функция;

q – обобщенная скорость; q – обобщенное ускорение.

Для одноподвижного механизма (W = 1) функция положения:

xМ = Пх(q),.

(2.18)

Дифференцируя (2.18) по времени, получим:

x	M	dxM	x	dq		q ,	(2.19)

		dt	q dt		x

Для определения ускорения точки М продифференцируем выражение (2.19)

по времени:

d 2 xM

2 x

d 2q

(q)2

q ,

При q

= const, q

= 0

(q)2 .

Пример. Механизм с внутренним входом.

	RА	а)		б)	в)
	RА			y
VА	α12	2	q Q	y
y	А		q Q
1	M	B	3
1	1		3 x	А B	x
O	1		3 x	А B	x
O			C	O	C
			C		C
				Рис. 2.11

(2.20)

3,1

Структура – одна трехзвенную одноподвижную структурную группу.

Групповые уравнения:

l1 cos 1	xC	(l q)cos 3	;
l1 sin 1			(2.21)
l1 sin 1	yC (l q)sin 3.

Продифференцируем (2.21) по обобщенной координате q:

l	sin			1		cos		(l q)sin			3		;
l	sin			q		cos		(l q)sin					;
1	1			q			3		3 q									(2.22)
		1								3								(2.22)
l cos		1			sin		(l q)cos			3		.
l cos					sin		(l q)cos					.
1	1		q			3		3		q
Аналоги угловой скорости первого и второго звена:														1		;	3	.
														1

														q	1		q	3
														q			q

Нетрудно видеть, что относительно аналогов скорости система уравнений (2.22) является линейной:

l	sin		(l q)sin		cos ;
1	1	1	3	3	3	(2.22′)

l1 cos 1 1 (l q)cos 3 3 sin 3.

Отсюда несложно найти аналоги скорости:

		cos 3	(l q)sin 3
		sin 3	(l q)cos 3
		sin 3	(l q)cos 3

1	l1 sin 1		(l q)sin 3
	l1 sin 1		(l q)sin 3
	l1 cos 1		(l q)cos 3

cos2 3 (l q) sin2 3 (l q)

l1(l q)(sin 1 cos 3 cos 1 sin 3 )

(2.23)

	1	.

l1 sin( 1 3 )

l1 sin 1

cos 3

l1 cos 1

sin 3

(sin sin

cos cos )

l1 sin 1

(l q)sin 3

l1(l q)(sin 1 cos 3 cos 1 sin 3 )

l1 cos 1

(l q)cos 3

ctg( 1 3 ). (l q)

(2.24)

	RА	а)		б)		в)
	RА			y
VА	α12 2		q Q	y
y	А	M	q Q
1		M	3
1	1	B	3 x	А B	x	3,1
O	1		3 x	А B	x	3,1
O			C	O	C
			C		C

Рис. 2.11

Знаменатель выражений (якобиан) обращается в ноль при 1= 3 n, n=0, 1, … . В этих случаях механизм попадает в особые положения (рис. 2.11, б), а аналог скорости 1 .

l	sin			1		cos		(l q)sin			3		;

1	1			q			3		3 q
		1							(2.22)
l cos					sin		(l q)cos			3		.

1	1		q			3		3		q

Продифференцируем (2.22) по обобщенной координате q:

								l sin			(l q)sin
								1	1				1								3	3
								l	cos ( )2								(l q)cos ( )2								2sin				;
								1		1			1								3			3				3	3				(2.25′)
								l cos			(l q)cos																						(2.25′)
								l cos			(l q)cos
								1	1				1								3			3
								l	sin ( )2								(l q)sin					( )2			2cos				.
								1	1				1								3			3				3	3
2 3 – аналог кориолисова ускорения,
	,		l q
l1 1	,		l q						3 – аналоги вращательных составляющих ускорений,
					2		,	l						2			– аналоги					центростремительных составляющих
l1 1							,	l	q 3								– аналоги					центростремительных составляющих
ускорений.
Аналоги угловых ускорений																					и			:
																				1		3
		l			cos ( )2					(l q)cos ( )2												2sin							(l q)sin
		l			cos ( )2					(l q)cos ( )2												2sin							(l q)sin
		1						1	1										3		3				3	3					3
		l sin ( )2								(l q)sin ( )2 2cos																		(l q)cos
			1					1	1										3	3					3	3					3
			1					1	1										3	3					3	3					3

1																l1 sin 1					(l q)sin 3											(2.26)
																l1 sin 1					(l q)sin 3
																	l1 cos 1				(l q)cos 3
																	l1 cos 1				(l q)cos 3
	l						cos( )( )2											(l q)( )2
				1					1	3				1							3		;
									l1 sin( 1 3 )														;
									l1 sin( 1 3 )
						l sin				l		cos ( )2							(l q)cos ( )2								2sin
						l sin				l		cos ( )2							(l q)cos ( )2								2sin
								1	1		1						1	1							3	3			3		3
							l	cos		l		sin ( )2							(l		q)sin ( )2						2cos
						1			1		1						1 1							3		3			3		3
						1			1		1						1 1							3		3			3		3

3															l1 sin 1						(l q)sin 3											(2.27)
															l1 sin 1						(l q)sin 3
																l1 cos 1				(l q)cos 3
																l1 cos 1				(l q)cos 3
					(l q)( )2 cos(													) l ( )2						2 sin(				)
									3					1				3		1	1				3		1		3	.
																														.
															(l q)sin( 1 3 )
При приближении к особому положению аналоги ускорений																																	и
																																1

3 .

Билет №12. Кинематический анализ многоподвижных механизмов. Пример для двухподвижного механизма.

Многоподвижные механизмы. Функция положения:

хМ = Пх(q1, q2, … , qW).

Скорость точки М:

s W x

...

qs .

s 1

Ускорение точки М:

2 x

...

q q

q1q2

l W s W 2 x

s W

q q

ql qs

qs .

l 1 s 1

s 1

Пример двухподвижного механизма .

(2.28)

(2.29)

(2.30)

	y	B				III	Функции положения:
		B	3			III
		2	3				xA l1 cosq1,
				3		II	xA l1 cosq1,
А		2	C	3		II	yA l1 sin q1,
А		2	C				yA l1 sin q1,
1	O	q1	D	q2	4	x	xC xD l4 cosq2 ,		2.31)
I	O						yC yD l4 sin q2 ,
							yC yD l4 sin q2 ,
							xA l2 cos 2	xC l3 cos 3 ,
		Рис.2.12					xA l2 cos 2	xC l3 cos 3 ,
							yA l2 sin 2	yC l3 sin 3.
В дальнейшем удобно представить (2.31) в более краткой форме:
	l1 cosq1 l2 cos 2		xD	l4 cosq2			l3 cos 3 ,	(2.31′)
	l1 sin q1 l2 sin 2		yD l4 sin q2 l3 sin 3.					(2.31′)
	l1 sin q1 l2 sin 2		yD l4 sin q2 l3 sin 3.

Возьмем производную от (2.31′) по обобщенной координате q1:


l	sin q		l		sin				2	l		sin		3		;
l	sin q		l		sin				q	l		sin				;
1	1			2			2		q		3		3	q
								1						1			(2.32)
								2					3				(2.32)
l cosq		l		cos				2		l	cos		3		.
l cosq		l		cos				q		l	cos				.
1	1		2			2		q		3		3	q
								1						1

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен

#
26.11.201929.18 Кб82003.xls
#
26.11.20193.22 Mб12ALL.pdf
#
26.11.20195.99 Mб9Doc1.docx
#
26.11.20191.33 Mб17TMM_otvety_1.pdf
#
26.11.20193.61 Mб14TMM_otvety_2.pdf
#
26.11.20191.42 Mб10zadachi_TMM.doc
#
26.11.20191.42 Mб8задачи ТММ.doc