Контрольні питання

1.            Як одержати ЧПФ W(ωT) ЦС з ПФ W(z)?

2.            Яка ширина основного діапазону частоти ЧПФ W(ωT) ЦС?

3.            Як зменшити розбіжність між аналоговою і цифровою частотами?

25. Критерії стійкості, точність і корекція цифрової системи

Перелік питань: розрахунок точності роботи цифрової системи, корекція цифрової системи, особливості застосування критеріїв стійкості до цифрових систем.

25.1. Особливості застосування критеріїв стійкості до цифрових систем

Відомі для неперервних систем алгебраїчні критерії стійкості гарантують відсутність коренів характеристичного рівняння системи в правій півплощині комплексної змінної s при виконанні умови, яку повинні задовольняти коефіцієнти характеристичного многочлена. Можливість користування цими критеріями появляється при визначенні зворотним білінійним перетворенням з дискретної передатної функції  цифрової системи передатної функції  F_ц(s) аналогового прототипу цієї системи. Зворотне білінійне перетворення, яке реалізується підстановкою

,                                                          (1)

дробово-раціональний вираз  перетворює в дробово-раціональний вираз F_ц(s), знаменник якого є характеристичним многочленом. Спеціально для дослідження стійкості можна користуватись спрощеним варіантом виразу(1), а саме [1]:

,                                                           (2)

але не можна застосовувати підстановку z=exp(sT), оскільки вона не створює дробово-раціональний вираз.

Маючи характеристичний многочлен і побудувавши його частотний годограф, можна визначити стан стійкості системи за допомогою критерію Михайлова.

Критерій Найквіста можна успішно застосувати, розрахувавши прямим або наближеним методом частотні характеристики розімкненої частини цифрової системи. Побудувавши графіки АЧХ і ФЧХ в діапазоні частот від 0 до w_д/2=p/T, де w_д=2p/T – частота дискретизації, визначають з них частоту зрізу w_z, частоту w_p і відповідно запас стійкості з фази Dj і запас стійкості з амплітуди DA.

 

25.1. Розрахунок точності роботи цифрової системи

Точність цифрової системи оцінюють статичними і динамічними помилками. Статична помилка дорівнює усталеній помилці при постійній дії на вході системи. Згідно з теоремою про кінцеве значення оригіналу помилку при вхідній дії x(t)=x₀ּ1(t) знаходимо з виразу

,              (1)

де X(z) =Z{1(nT)}=z/(z-1) – зображення вхідної дії,

      –  передатна функція для помилки.

Систему з нульовою статичною помилкою називають астатичною, а в іншому випадку – не астатичною. З виразу (1) видно, що нульова статична помилка може мати місце тільки при умові, що передатна функція W(z) розімкненої системи має полюс при z=1. Порядок астатизму системи визначає кратність полюсу в точці z=1. Систему з r-кратним полюсом називають системою з астатизмом r-го порядку.

Динамичні помилка теж визначаються в усталеному режимі, але при змінній керуючій дії. Тому динамічну помилку теж можна знайти з її  z-зображення за допомогою теореми про кінцеве значення.

Більш загальний підхід до визначення помилки пов’язаний з формулою розкладання її в ряд Тейлора

e(nT) = С₀ x(nT) + С₁ x¢(nT) + (1/2!) С₂ x² (nT) + … + (1/k!) С_k x^(k) (nT),       (2)

де С₀, С₁, С₂, … – коефіцієнти помилок стану, швидкості, прискорення і так далі, x(nT) – вхідна дія.

Коефіцієнт помилки С_k цифрової системи можна знайти з формули

,                                                 (3)

яка аналогічна формулі для помилки неперервної системи, але зручніше користуватись такими еквівалентними відносно (3) формулами, в яких виконана заміна е^st= z:

.  (4)

Величиною коефіцієнтів помилок оцінюють чутливість помилки системи до постійної дії на вході, до швидкості, з якою змінюється вхідна дія, до прискорення вхідної дії та до інших показників зміни вхідної дії.

В системі з астатизмом порядку k коефіцієнти C₀, C₁,…, C_k-1 дорівнюють нулю, завдяки чому помилка системи при поліноміальній дії виду

.                                                                (11.4)

теж дорівнює нулю.