23.2. Різницеве рівняння цифрової системи

Розглянемо методику одержання різницевого рівняння з передатної функції цифрової системи. Якщо вхідну дію цифрової системи позначити якx(nТ), а вихідну як y(nТ), то передатну функцію ЦС можна записати у такому загальному вигляді

.                          (1)

де  X(z) i Y(z) – z-зображення відповідно вхідної і вихідної дій.

Для передатної функції, синтезованої білінійним методом, степінь n знаменника, який визначає порядок системи, дорівнює степеню m чисельника. Тому прийнявши m=n і поділивши многочлени чисельника і знаменника на старший член знаменника (a₀∙zⁿ), представимо передатну функцію Φ(z) в такій формі

,                              (2)

де .

З урахуванням того, що , перепишемо рівняння (2) в такому вигляді:

.   (3)

Перейдемо тепер від зображень X(z) i Y(z) до оригіналів x(kT) i y(kT). При цьому зважимо на те, що множних  відповідає запізненню оригінала на kінтервалів дискретизації Т. В результаті одержимо різницеве рівняння системи у вигляді

.          (4)

Рівняння (4) доповнюється умовами:

x(kT)=0  при k<0,                                                   (5)

y(kT)=0,  при k<0.                                                  (6)

Різницеве рівняння дає можливість розрахувати значення вихідного сигналу y(kТ) в дискретні моменти часу kТ при відомих значеннях вхідного сигналу x(kT). Як рекурентне відношення між попереднім і наступним значеннями вихідної величини різницеве рівняння є досить зручною математичною моделлю ЦС. Воно дозволяє розраховувати часові і частотні характеристики ЦС при умові подачі на вхід системи потрібний для визначення тієї чи іншої характеристики вхідний сигнал x(kТ) і послідовно обчислювати значення y(kТ). Різницеве рівняння зручно розв’язувати на ЕОМ за допомогою математичних програм.

Покажемо методику розрахунку різницевого рівняння на прикладі інерційної ланки, для якої дискретна передатна функція була одержана методом білінійного перетворення в такому вигляді:

.                                         (7)

Поділивши чисельник і знаменник на старший член знаменника одержимо

.                                         (8)

Перепишемо (8) в компактній формі

,                                                (9)

де b₀=b₁=k₁T/(T+2T₁),  a₁= (T-2T₁)/ (T+2T₁).

З урахуванням того, що  з (9) одержимо:

.                          (10)

Після цього зворотним z-перетворенням з (10) одержимо різницеве рівняння ланки в такому вигляді

.                  (11)

Якщо порівняємо одержане різницеве рівнянням з різницевим рівнянням цієї ж ланки, одержаним в попередній главі методом дискретизації диференціального рівняння, то помітимо, що при однаковій структурі вони відрізняються величинами коефіцієнтів.

23.3. Представлення цифрової системи у вигляді схеми цифрового фільтру

Крім чисельно-програмної реалізації різницеве рівняння допускає реалізацію дискретної системи у вигляді схеми цифрового фільтра, алгоритм роботи якого воно описує. Дійсно, різницеве рівняння

.          (1)

показує які сигнали (x, y), з якими ваговими коефіцієнтами (a_i, y_j) і з якими запізненнями (0, T, 2T,…, nT) потрібно скласти, щоб одержати поточний вихідний сигнал y(kT). Із різницевого рівняння в його загальній формі видно, що цифровий фільтр, який перетворює відліки вхідного сигналу x(kT) в дискретні значення y(kT) вихідного сигналу, має складатись з таких компонентів:

§        елементів затримки на тактовий інтервал T, які відображають відповідні затримки в різницевому рівнянні,

§        масштабних підсилювачів, які відображають коефіцієнти різницевого рівняння,

§        суматора, який відображає суму сигналів правої частини рівняння.

Для прикладу на рис. 23.2 приведена узагальнена структурна схема цифрового фільтра.

 

 

 

Рис. 23.2. Узагальнена схема цифрового фільтра

 

Цифровий фільтр, як правило, реалізують на елементах цифрової техніки. Для цього його структурну схему оптимізують з метою зменшення кількості дорогих елементів схеми. Оптимальні структури більш економні порівняно з приведеною на рис. 23.2 первинною структурою ЦФ.

Замітимо, що від структурної схеми цифрового фільтра так же легко перейти до різницевого рівняння ЦФ, як і від різницевого рівняння до структурної схеми.

Покажемо приклад реалізації різницевого рівняння для інерційної ланки, яке одержане вище в такому вигляді:

.                  (11)

Безпосередньо з рівняння видно, що для створення цифрового фільтра потрібно в кожному такті на суматор подавати з вхідної сторони як безпосередньо вхідний сигнал з коефіцієнтом b₀, так і затриманий на тактовий інтервал вхідний сигнал з коефіцієнтом b₁. З вихідної сторони фільтра на суматор потрібно подати затриманий на тактовий інтервал вихідний сигнал з коефіцієнтом a₁. Описані дії виконує структура, приведена на рис. 23. 3.

 

Рис. 23.3. Реалізація інерційної ланки цифровим фільтром

 

Задачі

1.          Знайдіть різницеве рівняння і структурну схему цифрового фільтру, аналоговим еквівалентом якого є коливальна ланка з параметрами k₁=10, T₁=0,1,x = 0,5. Скористайтесь методом білінійного перетворення W(s) в W(z).

2.          Побудуйте схему фільтра за рівнянням y(nT)=b₀ x(nT)+b₁ x(nT-T)-a₁ y(nT-T).

3.          Знайдіть h(0), h(T), h(2T) з рівняння y(nT)=b₀ 1(nT)+b₁ 1(nT-T)-a₁ y(nT-T).