8.4. Правила структурних перетворень

Складне сполучення ланок намагаються звести до простого послідовного сполучення, що спрощує розрахунок автоматичної системи. В багатьох випадках еквівалентне перетворення, яке не впливає на вихідний сигнал системи, можна зробити заміною паралельно з'єднаних ланок або ланки із зворотнім зв'язком відповідною еквівалентною ланкою. Приклад такого простого перетворення показаний на рис.8.5.

 

Рис. 8.5. Приклад ланцюга ланок з простим структурним перетворенням

 

Тут дві паралельно сполучені ланки з передатними функціями W₃ і W₄ замінені ланкою з передатною функцією W_3,4, а ланка W₆ з передатною функцією W_z у зворотному зв’язку, замінена ланкою з передатною функцією W_6,z. Після цих замін передатну функцію ланцюга ланок можна записати у вигляді

,                                               (1)

де

,   .                                              (2)

В більш складних випадках, як наприклад на рис.8.6, еквівалентне перетворення вимагає знань спеціальних правил. Більшість з них зводиться до двох правил, які можна назвати правилами перенесення.

 

Рис 8.6. Ланцюг ланок із складною структурою

 

Перше правило, яке пояснює рис. 8.7, стосується перенесення проміжного входу вправо або вліво. Правило можна сформулювати так: якщо проміжний вхід між ланками з ПФ W₁ і W₂переноситься вправо через ланку з передатною функцією W₂, то він доповнюється ланкою з передатною функцією W₂, а якщо вхід переноситься вліво через ланку з ПФ W₁, то він доповнюється ланкою з передатною функцією 1/W₁.

 

Рис. 8.7. Пояснення до правила перенесення проміжного входу

 

Правило справедливе, оскільки вказане перенесення не змінює зображення Y(s) сигналу y(t) на рис.8.7, яке в усіх випадках залишається незмінним. Дійсно, зображення вихідного сигналу

                                      (3)

однакове для усіх трьох схем, приведених на рис.8.7.

Друге правило стосується  перенесення проміжного виходу вправо або вліво. Воно пояснюється рисунком 8.8 і може бути сформульованим так:

якщо проміжний вихід, розташований між ланками W₁ і W₂ переноситься вправо через ланку з передатною функцією W₂, то він доповнюється ланкою з ПФ 1/W₂, а якщо вихід переноситься вліво через ланку з передатною функцією W₁, то він доповнюється ланкою з передатною функцією W₁. Таке перенесення дійсно еквівалентне, бо в усіх випадках

 і .                                                  (4)

 

Рис.8.8. Пояснення до правила перенесення проміжного виходу

 

 

 

 

 

8.5. Приклад перетворення структури ланцюга ланок

Наведемо приклад застосування правил структурних перетворень при спрощенні структури ланцюга, показаного на рис.8.6.

 

Рис.8.9. Результат тотожного перетворення структурної схеми

 

З декількох можливих еквівалентних структур виберемо структуру на рис.8.9.

Вона одержана завдяки перенесенню проміжного входу між W₁ і W₂ вправо через ланку W₂ і перенесенню проміжного виходу між W₂ і W₃ теж вправо через W₃. У відповідності з правилами перенесення в лінію входу включена ланка W₂, а в лінію виходу – ланка 1/W₃.

Для перетвореної структури на рис.8.9 можна записати ПФ в такому вигляді:

                                              (1)

Задачі

1. Визначте передатну функцію і назву ланки , показаної на рис.8.10.

 

Рис. 8.10. Приклад паралельної структури

 

2. Покажіть , що передатна функція ланки з одиничним додатним зворотним зв’язком , показана на рис. 8.11, визначається виразом  .

 

 

 

 

 

Рис. 8.11. Ланка з одиничним додатним зворотним зв’язком

 

3. Знайдіть передатну функцію ланцюга ланок , зображеного на рис. 8.12.

 

.

Рис. 8.12. Ланцюг ланок

 

4. Знайдіть передатну функцію ланцюга ланок, зображеного на рис. 8.13.

 

Рис. 8.13. Ланцюг ланок

 

5. Знайдіть передатну функцію ланцюга ланок, зображеного на рис. 8.14.

 

Рис. 8.14. Ланцюг ланок

 

6. Знайдіть передатну функцію структури, зображеної на рис. 8.15.

 

 

 

 

Рис. 8.15. Ланцюг ланок