2.3. Связность графов.

Пусть задан неограф G = (X, U) без петель и кратных рёбер.

Опр.3.30. Маршрут - это последовательность рёбер u_i є U, заданных парами вершин вида (x₁, x₂) (x₂, x₃) ... (x_i-1, x_i), в которой любые два соседних ребра смежные. Количество рёбер в маршруте определяет его длину.

Опр.3.31. Если все рёбра в маршруте различны, то такой маршрут является цепью.

Опр.3.32. Если в цепи нет повторяющихся вершин, кроме соседних, то такая цепь называется простой.

Опр.3.33. Цепь, в которой совпадают начальная и конечная вершины, называется циклом.

Опр.3.34. Простая цепь, в которой совпадают начальная и конечная вершины, образует простой цикл.

Граф, представленный на рис. 3.1, содержит, например,

маршрут: (x₁, x₃) (x₃, x₅) (x₅, x₂) (x₂, x₄) (x₄, x₁);

простую цепь (x₁, x₃) (x₃, x₅) (x₅, x₂) (x₂, x₄);

простой цикл (x₁, x₃) (x₃, x₅) (x₅, x₂) (x₂, x₁).

Опр.3.35. Две вершины x_i, x_j є X, x_i ≠ x_j графа G = (X, U) называются связанными, если их можно соединить маршрутом.

Опр.3.36. Граф G = (X, U) называется связным, если любые две его вершины связаны маршрутом.

Если взять какую-либо вершину x_i є X графа G = (X, U) и построить подмножество X′  X, состоящее из всех вершин, которые можно соединить с вершиной x_i произвольным маршрутом, причём x_i включается в множество X′, то подграф G′ = (X′, U′), образованный на множестве вершин X′, называется компонентой связности графа G.

Связный граф состоит из единственной компоненты связности. Если граф имеет несколько компонент связности, то он несвязен, так как вершины из разных компонент связности нельзя соединить маршрутом. На рис. 3.19 показан граф G = (X, U), состоящий из трёх компонент связности G₁, G₂ и G₃, представленных на рис. 3.20-3.22.

Рис. 3.19. Граф, состоящий из трех компонентов связности.	Рис. 3.20. Первая компонента связности	Рис. 3.21. Вторая компонента связности.	Рис. 3.22. третья компонента связности.

Опр.3.37. Связный граф без циклов называется деревом.

В дереве любые две вершины связаны единственной цепью. Пример дерева показан на рис. 3.23.

Рис. 3.23. Изображение дерева.

Общее количество деревьев d, которое можно построить на n вершинах, определяется по формуле (теорема Кэли) d = n^n-2.

Опр.3.38. Цикл C_э, в котором содержатся все рёбра графа, причём каждое ребро встречается только один раз, называется эйлеровым.

Граф содержит Эйлеров цикл, если он связен и все локальные степени его вершин чётны.

Опр.3.39. Цикл C_г, проходящий через каждую вершину графа по одному разу, называется гамильтоновым.

Для гамильтонова цикла, в отличие от эйлерова цикла, неизвестен общий критерий существования. В литературе можно встретить только частные критерии, например, согласно одному из критериев в графе существует гамильтонов цикл, если для любой пары вершин x_i, x_j є X графа G сумма локальных степеней ρ(x_i) + ρ(x_j) ≥ n.

Пример 3.9.

В государстве 100 городов, из каждого выходит 2 дороги, кроме столицы, откуда выходит 5 дорог и города Горный, откуда выходит одна единственная дорога. Сколько всего дорог в государстве?

Решение: Сложим количества дорог, выходящих из всех городов: 98*2+5+1=202. Это число - количество концов всех дорог. Поскольку каждая дорога имеет 2 конца, то количество дорог будет вдвое меньше, а именно 101.

Пример 3.10.

На остров Коневец завезли 13 телефонов. Настоятель хочет организовать такую схему телефонной связи, чтобы соединить каждый телефон ровно с 7-ю другими. Удастся ли ему это?

Решение: Посчитаем, сколько проводов нужно, чтобы осуществить такую схему. Концов проводов будет 13*7=91, а самих проводов - вдвое меньше, то есть... 45,5 штук. Это означает, что такая схема связи невозможна.

Пример 3.11.

Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Р ешение. На рисунке 3.24. изображен граф, соответствующий всем совершенным рукопожатиям. Если подсчитать число ребер графа, изображенного на рисунке, то это число и будет равно количеству совершенных рукопожатий между пятью молодыми людьми. Их 10.

Пример 3.12.

Д оска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки. Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу ?

Р ешение: Занумеруем последовательно клетки доски.

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен.

Пример 3.13.

М ежду девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

По рисунку сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Пример 3.14.

В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – 100 ^. 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

Пример 3.15.

Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Решение. Подсчитаем число городов. Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 (число выходящих из каждого города дорог) и разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 => Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит 100 дорог в таком государстве быть не может.

Пример 3.16.

Пример 3.17.