Методические указания по подготовке к вступительному испытанию по физике [PDF] [22]

D p = 0,25×8,31× 300 » 445Па.

0,028 ×5 ×10

Пример 2.5.

При нагреве газа на Т = 5 К при постоянном давлении его объем уве-

личился на 25 % первоначального. При какой температуре находится газ?

Поскольку в условии нет указаний на изменение массы газа, считаем

m = const и применяем закон Гей-Люссака:

Пример 2.6.

Каково давление воздуха(М = 0,029 кг/моль) в камере сгорания ди-

зельного двигателя при температуре t = 503 ° С, если плотность воздуха

ρ = 1,8 кг/м3?

Для подобных задач удобно применить уравнение Менделеева– Кла-

пейрона, потому что в нем«спрятана» плотность r = m . Действительно,

V

41

pV = m RT можно записать в виде p = r RT . Применительно к имеющим-

V M

ся условиям p = 1,8 8,31× 776 » 4 ×105 Па = 400кПа 0,029

(не забудем перевести температуру в абсолютную T = t + 273 = 776 K)

Решите самостоятельно.

1) Во сколько раз изменится давление одноатомного идеального газа в результате уменьшения его объема в3 раза и увеличения средней кинетиче-

ской энергии его молекул в 2 раза?

(Ответ: в 6 раз)

2) В результате утечки из баллона половины массы газа и двукратного

понижения его температуры давление газа в баллоне

5)уменьшилось в 1.5 раза.

3)Воздух при температуре t1 = 0°С и давлении р1 = 0,1 МПа занимает объем V1 = 40 л. При какой температуре его объем будет равенV1 = 2 л при давлении р2 = 0,1 МПа.

(Ответ: 1092 K)

4) Газ при температуре t1 = 27°С и давлении р1 = 1,5 МПа занимает объем V1 = 40 л. Какой объем займет этот газ при нормальных условиях?

(Ответ: 546 л)

5) В баллоне объемом V1 = 0,2 м3 находится гелий при давлениир1 = 0,1 МПа и температуре t1 = 17°С. Массу гелия в баллоне увеличили, при этом давление повысилось дор2 = 0,3 МПа, а температура – до t2 = 47°С. На сколько увеличилась масса гелия? (МНе = 4·10-3 кг/моль).

(Ответ: 57 г)

42

Изотермический процесс– процесс, при котором температура Т и мас-

са m газа остаются постоянными.

Будем считать, что масса газа и род газа не меняются. Тогда в случае процесса, протекающего при постоянной температуре, уравнение Менделее-

ва – Клапейрона примет вид:

pV = m RT = const

M

или pV = const .

Мы видим, что при изотермическом процессе давление идеального газа обратно пропорционально его объему. Это так называемый закон Бойля– Мариотта.

Закон Бойля – Мариотта: для данной массы идеального газа при изотер-

мическом процессе произведение давления р газа на его объем V постоянно.

Графиком этого закона является парабола, называемая изотерПой. при-

чем, чем больше температура газа, тем дальше парабола отстоит от осей ко-

ординат. На графике (рис. ) приведены две изотермы, соответствующие двум состояниям газа при различных температурах: Т 2 > Т1.

Рис. 10. Графики изотермического процесса

Изохорный процесс – процесс, при котором объем V и масса m газа не

изменяются.

43

Будем считать, что масса газа и род газа не меняются. Тогда в случае процесса, протекающего при постоянной температуре, уравнение Менделее-

ва – Клапейрона примет вид:

pV = m RT Þ p = mR = const ;

прямо пропорционально его абсолютной температуре. Последнее утвержде-

ние представляет собой закон Шарля.

Зависимость р от Т представляет собой прямую линию, называемую изохорой, проходящую через начало координат. То есть при Т = 0 К предпо-

лагается, что р = 0. однако при низких температурах возможны более слож-

ные физические процессы, которые еще не установлены наукой. Поэтому экстраполяционный участок графика зависимостир от Т следует чертить пунктиром.

Рис. 11. Графики изохорного процесса

Тангенс угла наклона изохоры к положительному направлению оси

абсцисс tga = mR . На графике приведены две изохоры, соответствующие

MV

двум состояниям газа при разных объемах. Из уравнения Менделеева – Кла-

пейрона объем равен

44

V = uR = uR ; p tga

V2 = tga1 ñ1 Þ V2 ñ V1 .

V1 tga2

Изобарный процесс – процесс, при котором давление р и масса m газа не изменяются.

Будем считать, что масса газа и род газа не меняются. Тогда в случае процесса, протекающего при постоянной температуре, уравнение Менделее-

ва – Клапейрона примет вид:

pV = m RT Þ V = mR = const ;

При изобарном процессе объем, занимаемый идеальным газом, прямо пропорционален его абсолютной температуре. Это утверждение носит назва-

ние закона Гей – Люссака. Графиком этого процесса является прямая линия

(рис.), называемая изобарой. Тангенс угла наклона изобары к положительно-

му направлению оси абсцисс tga = mR . На графике приведены две изобары,

Mp

соответствующие двум состояниям газа при разных объемах. Из уравнения Менделеева – Клапейрона давление равено

p = uRT = uR . V tga

V = tga , где α – угол наклона графика к оси абсцисс. Чем меньше α,

T

45

Рис. 12. Графики изобарного процесса

2.3.Первый закон термодинамики

Это закон сохранения и превращения энергии применительно к тепло-

вым процессам. Его формулировка: теплота Q, подведенная к закрытой

системе, затрачивается на изменение U ее внутренней энергии и на совершение системы работы А над внешними телами:

Q = DU + A

Работа и теплопередача – характеристики процесса изменения внутрен-

ней энергии системы; они функции процесса, но не состояния системы. В

каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией. Однако нельзя говорить, что в ней содержится опреде-

ленное количество теплоты или работы.

2.3.1. Задачи на применение I закона термодинамики

При решении задач, связанных с расчетом внутренней энергии U и

работы А, совершаемой газом за счет сообщения системе некоторого коли-

чества теплоты Q, полезно сначала записать I закон термодинамики в общем виде: Q = A + DU и разобраться, какой вид процесса имеет место.

Если из условия следует, что процесс адиабатический и теплообмена не происходит, то A + DU = 0 : при совершении положительной работы (расши-

46

рении) уменьшается внутренняя энергия и снижается температура, а при от-

рицательной работе (сжатия) внутренняя энергия и температура увеличива-

ются.

Если происходит изобарный процесс (р = const), то изменится внутрен-

няя энергия

DU = i × m RDT ,

2 M

где i – число степеней свободы: для одноатомных газов i = 3, для двухатом-

ных газов (например, О2 и N2) i = 5, для трех- и более атомных (например,

СО2) i = 6; Т – изменение температуры.

При этом совершается работаA = p(V2 -V1 )= pDV . Из уравнения

Менделеева – Клапейрона следует, что если pDV = m RDT , то можно запи-

M

сать Q = 5 p(V2 -V1 ).

2

При изохорном процессе объем не изменяется и работы не совершает-

ся; вся теплота, подведенная к системе, преобразуется в изменение внутрен-

ней энергии (происходит изменение температуры газа).

Пример 2.7.

Каким является процесс, если газ совершил работу, равную 5 кДж, а

его внутренняя энергия, уменьшалась на 5 кДж?

Конечно, адиабатическим: A + DU = 0 .

Если все подведенная к системе теплота расходуется на совершение работы, то температура газа не изменяется( U= 0) – это изотермический процесс, при котором pV = const.

Пример 2.8.

Какую работу совершает газ при изотермическом расширении, если ему передано 5 кДж теплоты?

47

Ответ: газ совершил работу, равную 5 кДж.

Во многих задачах требуется определить работу, совершаемую идеаль-

ным газом при круговом цикле, или оценить величины, входящие в выраже-

ние для коэффициента полезного действия теплового действия:

h = Qнагр - Q хол ×100 % = Tнагр - Tхол ×100 %

Qнагр Tнагр

где индексы «нагр» относятся к нагревателю, а «холл» к холодильнику. Если задача представлена графически, то работу можно оценить как площадь, за-

ключенная внутри цикла в координатах p – V.если условия даны в других координатах (p – Т или V–Т), то графически следует перестроить в p – V. Во всех задачах, содержащих η полезно записать выражения для КПД и посмот-

реть, какими величинами вы располагаете для решения.

Пример 2.9.

Преобразуйте графики (1) и (2) на рис. в координаты p – V.

48

На участке 1-2 графика (1) происходит изотермический процесс: объем увеличивается, а давление уменьшается. На участке 2-3 объем остается по-

стоянным с ростом температуры– процесс изохорный, т.е. давление растет.

На участке 3-1 происходит изобарный процесс: температура снижается, объ-

ем уменьшается до исходного. В результате получим график (1) на рис. 14.

растет, температура увеличивается; на участке 2-3 – изобарный с уменьше-

нием температуры и объема; на участке 3-1 – изотермический с падением давления и роста объема. результат преобразования показан на графике(2)

рис.14.

Пример 2.10.

Если V1 = 2 л, V2 = 2,5 л, р1 = 4·105 Па, р2 = 2·106 Па, то чему равна ра-

бота в замкнутом процессе, представленном на рис. 15 ?

Найдем площадь замкнутого контура:

A = (p2 - p1 )× (V2 -V1 ) = 800 Дж

49

Рис. 15. График процесса

Пример 2.11.

При адиабатическом расширении m = 2 г гелия (М = 0,004 кг) газ со-

вершил работу А = 300 Дж. На сколько изменилась температура газа?

Так как Q = 0 и A = -DU , то температура газа снизилась:

Пример 2.12.

Какую работу совершает за один цикл идеальный тепловой двигатель,

если температура нагревателя Тнагр= 800 K, а холодильника Тхол= 200 K? За один цикл от холодильника отводится Q = 300 Дж.

По формуле для расчета КПД (η) двигателя можно найти:

h = Tнагр - Tхол ×100 = 75 %.

Tнагр

Работа является мерой изменения энергии:

A = Qнагр - Qхол .

КПД описывается также в виде h = Qнагр - Q хол ×100 %.

Отдельную группу образуют задачи по расчету количества теплоты,

установившейся температуры или необходимой мощности нагревателя. При

50