Методические указания по подготовке к вступительному испытанию по физике [PDF] [22]

r p

r

p1 = mV

Вектор суммарного импульса строится как диагональ квадрата, так что его модуль равен p = mV 2 .

Пример 1.24.

Тело, подвешенное на нити длиной0,2 м, отводят вверх на 90 ° и от-

пускают. Какую скорость приобретет оно в низшей точке и выдержит ли

нить, если она рассчитана на максимальное натяжениеTmax = 20H , масса тела 1 кг?

Когда тело отводят вверх на высоту равную, оно приобретает потенци-

альную энергию Wп = mgl относительно исходного положения. Когда его

отпускают, оно движется по окружности радиусаl, приобретая максималь-

ную скорость V в низшей точке. Исходя из закона сохранения энергии,

как радиус окружности равен длине подвеса.

Сила натяжения нити определяется из выражения

Полученный результат свидетельствует, что отпущенное тело в нижней точке приобретает скорость 2 м/с, а нить оборвется, так как она рассчитана на меньшее натяжение.

31

Пример 1.25.

Какую работу нужно совершить, чтобы поднять со дна колодца глуби-

ной 10 м ведро массой 15 кг, висящего на цепи, каждый метр которой весит

Р1= 20 Н?

Работа совершается против силы тяжести. Не важно, пользуемся ли мы воротом, или просто вытягиваем цепь, работа будет одинаковой: по «золо-

тому правилу механики» ни один простой механизм (блок, ворот, рычаг) не

дает выигрыша в работе. Выигрывая в силе, мы проигрываем в расстоянии,

так что A = FS cosa = const .

Вытаскивая ведро, нужно совершить работу A1 = mgh (cosa = 1).

Вытягивая цепь, масса которой равномерно распределена по длине

(центр тяжести находится на уровне посредине цепи), нужно совершить ра-

где n – число метров (безразмерная величина).

A1 = 15×10 ×10 = 1500 Дж

A2 = 20 ×10 ×5 = 1000 Дж

Суммарная работа составляет 2500 Дж или 2,5 кДж.

Пример 1.26.

Работа, совершаемая в примере 6, выполнена за 25 с. Какая мощность была при этом развита?

Мощность P = A = 2500 = 100 Вт . t 25

Пример 1.27.

Пуля, массой m = 10 г, двигавшаяся со скоростью V = 400 м/с, попадает в деревянный брусок массойМ = 10 кг и застревает в нем. Какую скорость приобретает брусок с пулей?

До взаимодействия импульс бруска был равен нулю, а импульс пули p1 = mv . После неупругого соударения импульс p2 = (m + M )×U .

По закону сохранения импульса p1 = p2 или mv = (m + M )×U . Отсюда

32

Таким образом, брусок с пулей будут двигаться в ту же сторону, что и пуля с незначительной скоростью.

Пример 1.28.

Какое расстояние сможет пройти брусок(см. пример 1.27) по горизон-

тальной поверхности с коэффициентом трения μ = 0,1?

Обозначим это расстояние Smax. При движении брусок расходует при-

обретенную им кинетическую энергиюW = (m + M )×U 2 на преодоление

силы трения Fтр = m(m + M )g , до тех пор, пока его скорость не станет рав-

ной нулю. По закону сохранения энергии A = Fтр × Smax = Wк .

Отсюда Smax = U 2 , т.е. брусок сдвинется на 8 см. 2mg

Решите самостоятельно.

9) Чему равно изменение импульса молекулы массойm, двигавшейся со скоростью v после перпендикулярного абсолютно упругого взаимодейст-

вия со стенкой сосуда?

(Ответ: -2 mv)

10) Человек массой m = 70 кг, бегущий со скоростью V1 = 5 м/с, заска-

кивает в отходящий от остановки трамвай массой M = 15 т, набравший к это-

му моменту V2 = 0,5 м/с. Какую дополнительную скорость приобретет трам-

вай?

(Ответ: 0,02 м/с)

11) C какой скоростью и в какую сторону будут двигаться два тела массами m1 = 3 кг и m2 = 2 кг, двигавшиеся навстречу друг другу со скоро-

стью V1 = 2 м/с и V2 = 3 м/с после неупругого удара?

(Ответ: остановятся)

33

1.5.Колебания и волны

1.5.1.Механические колебания

Основными понятиями этого раздела механики являются частотаν и

ω = 2p ×n = 2p , амплитуда, отклонение (смещение тела) от положения равно-

T

весия в заданный момент времени, длина волны, скорость ее распростране-

ния.

Обычно рассматриваются гармонические колебания, при которых из-

менение смещения со временем описываются законами синуса или косинуса.

Пример 1.29.

Требуется определить смещение тела, совершающего синусоидальные

Обозначим текущее значение смещения х, амплитуду А, начальную фа-

зу φ0 и запишем уравнение колебания x = A sin(w t +j0 ) для условий задачи:

Пример 1.30.

Для условий предыдущей задачи нужно найти максимальные скорости и ускорение тела, совершающего колебания.

Выражения для изменения скорости и ускорения записываются в виде:

34

жесткость пружины, m –масса колеблющегося тела) то увидим, что скорость максимальна в момент прохождения телом положения равновесия. В этот момент возвращающая сила и ускорения равны нулю.

В положении максимального отклонения наоборот: скорость равна ну-

лю, а сила и ускорения максимальна.

Чтобы найти максимальную силу, применим II закон Ньютона:

Fmax = mamax = mAw 2 ;

в процессе движения сила изменяется периодически:

F = Fmax cos(w t + j0 ) = mAw 2 cos(w t +j0 )

Кроме приведенных основных соотношений, при решении задач на ме-

ханические колебания часто требуется определить энергию тела. Для полной

Пример 1.31.

Для условий примеров 1.29 и 1.30 и массы тела m = 0,1 кг нужно найти силу, действующую на тело в момент времениТ/4 и его кинетическую энер-

гию в этот момент и полную энергию.

35

Решите самостоятельно.

12). Тело массой m = 0,5 кг совершает гармонические колебания по за-

кону x = 4 sinpt . Какова его максимальная скорость? Какова жесткость пру-

жины, если это пружинный маятник? Какова длина подвеса, если это матема-

тический маятник?

Указание: используйте формулы для периода колебаний.

(Ответ: 12,56 м/с; 4 м; 5 Н/м) 13). Во сколько раз изменится период колебаний математического ма-

ятника, если принести его с Земли на Луну.

Указание: см. Пример 1.19. в разделе 1.3.

(Ответ: увеличится в 2,4 раза)

1.4.2.Волны

Примером механических волн (волн упругих колебаний среды) служит

звук. При распространении волн в среде происходит распространение энер-

гии Ии передача колебаний от одной точки пространства к другой. Волны описываются с помощью следующих характеристик: длина волны λ, период

Т и скорость распространения в среде v (рис. 9).

36

Длина волны – расстояние между точками, колеблющимися в одинако-

вой фазе – может быть записана также в виде l = v 2wp , где ω – круговая час-

тота колебаний вдоль оси ох (рис. 9).

Рис.9 Графическое представление в виде синусоиды поперечной волны, рас-

пространяющейся вдоль направления оси ОУ; точки совершают колебания вдоль оси Х с амплитудой А.

Решим простую задачу: на поверхности океана длина волны достигает

300 м, а ее круговая частота 0,46 рад/с. Чему равна скорость распространения волны?

Подставим данные в выражение для длины волны и получим

При переходе волны из одной среды в другую частота волны не меня-

ется, а меняется только длина волны. Например, нужно оценить, во сколько раз изменится дина звуковой волны при переходе звука из воздуха в воду, ес-

ли скорость звука в воде v1 = 1460 м/с , а в воздухе v2 = 340 м/с.

Приведенные здесь особенности волновых явлений и их характеристи-

ки используются также в оптике и электродинамике.

37

2. Основные понятия молекулярно-кинетической теории (МКТ)

2.1. Применение основного уравнения МКТ

p = nkT ,

где k – постоянная Больцмана, а Т – абсолютная температура газа; или

p= 2 nWк , 3

жения молекул. Форма записи выбирается в зависимости от данных имею-

щихся в условиях задачи.

Температура идеального газа связана с Wк соотношением

Wк = 3 kT

2

Рассмотрим применение формул на типичных задачах.

Пример 2.1.

Молярная масса кислорода М = 32 г/моль. Чему равна масса одной мо-

лекулы m0?

38

Пример 2.2.

Какова масса кислорода в сосуде вместимостьюV = 5 л, если концен-

трация молекул равна n = 9,41·1023 м-3?

Пример 2.3 .

Для условий примера 2.2. нужно найти плотность газа ρ.

Плотность газа определить из соотношения

2.2. Описание состояния системы

Произведение постоянной Больцмана на число Авогадро дает универ-

пользуются при записи многих важных соотношений термодинамики. Так внутренняя энергия идеального газа записывается в виде

U = i m RT ,

2 M

где m =n – число молей газа.

M

Универсальное уравнение Менделеева – Клапейрона, описывающее со-

стояние газа, записывается как pV =nRT

При решении задач, связанных с нахождением таких параметров сис-

темы как объем, температура, давление, внутренняя энергия, работа, теплота,

используют уравнение Менделеева – Клапейрона, первый закон термодина-

39

мики (применительно к конкретному виду процесса) ил выражения для опи-

сания изопроцессов. Анализируя условия, нужно хорошо уяснить, какого ти-

па процесс имеет место, а именно:

-являются ли постоянными температура, давление или объем;

-остается ли постоянной масса газа;

-совершает ли газ положительную работу(например, при термическом расширении) или отрицательную при сжатии поршнем;

-происходит ли теплообмен с окружающей средой(не происходит при адиабатических процессах).

Затем следует определиться с математической записью процесса и запи-

сать уравнения каждого состояния.

Пример 2.4.

В баллоне объемом р = 10 л находится азот (М = 28 г/моль) , вес бал-

лона с газом равнялся Р1 = 2,5 кг. При неизменной температуре Т = 300 K из баллона взята часть газа, так что вес баллона стал Р2 = 2,25 кг. Как измени-

лось давление в баллоне?

Процесс происходит при изотермических условиях, но применить за-

кон Бойля-Мариотта нельзя, так как изменяется масса газа. В таких случаях рекомендуется записать уравнения Менделеева– Клапейрона для двух со-

стояний: до и после выпуска газа:

При этом объем V и масса баллонаm не изменяются, а об изменения массы газа можно судить по тому, на сколько изменится вес баллона:

D m = P1 - P2 g

Используя записанные выражения и данные задачи, получим:

p1 = m1 RT ;

MV

40