Филиал 3 курс 5 семестр
Лекция 5: Механические волны
План:
Длина волны и волновое число.
Вывод уравнения плоской бегущей волны.
Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.
Разность фаз колебаний.
Виды волн.
Фазовая и скорость.
Групповая скорость.
Связь фазовой и групповой скорости.
Нахождение групповой скорости методом Эренфеста.
Уравнение сферической волны.
Вывод уравнения стоячей волны.
Координаты узлов и пучностей.
Энергия волн.
________________________________________________________________
Длина волны и волновое число
Длиной волны – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:
(1)
(2)
Если период равен , (3)
то (4)
Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:
получим(5)
Или (6)
Физический смысл отношения заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается вединицах длины. Отношениеобозначается и называется волновым числом, т.е.
(7)
Например:
Вывод уравнения плоской бегущей волны
Бегущие волны– волны, которые переносят в пространстве энергию.
Плоские волны– волны, волновые поверхности которых – есть совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.
Лучив этом случае – параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны.
Пусть плоская бегущая волна распространяется вдоль оси X, т.е. вдоль одного направления из точки А в точку В как показано на рисунке:
Пусть источник колебаний в начальный момент временинаходится в точке О.
Запишем уравнение колебания:
(8)
Рассмотрим распространение волны от точки М до точки В. Из рисунка видно, что время , затраченное на этот путь равно, где- это время, за которое волна распространилась от источника колебаний до точки М.
Перейдем от уравнения колебаний к уравнению плоской бегущей волны:
(9)
(10)
Т.к. за время волна распространилась на расстояние, тогда
(11)
(12)
(13)
Будем считать начальную фазу .
Тогда согласно уравнению (6), получаем: (14)
Если в уравнении (14) , а, то получимчетвертый видуравнения плоской бегущей волны (при):
|
- первый вид уравнения плоской бегущей волны |
|
- второй вид уравнения плоской бегущей волны |
|
- третий вид уравнения плоской бегущей волны |
|
- четвертый вид уравнения плоской бегущей волны |
- смещение точек среды с координатойxв момент времениt.
Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.
Уравнение плоской бегущей волны можно представить в комплексном виде, используя формулу Эйлера:
(15)
Если , то
(16)
Т.к. физический смысл имеет только реальная часть, получаем:
, (17)
Получаем уравнение плоской бегущей волны комплексном виде:
(18)
|
- уравнения плоской бегущей волны в комплексном виде
|
Разность фаз колебаний
Фаза рассчитывается из определения углового перемещения:
(19)
(20)
(21)
Виды волн
Основное свойство всех волн– перенос частицами среды энергии без переноса вещества.
Различают продольные и поперечные волны.
Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль их распространения, называются продольными.
Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называются поперечными.
Продольные волны распространяются в жидкостях и газах
В твердой средевозникают как продольные, так и поперечные
Фазовая скорость
Пусть в волновом процессе фаза = const, т.е.
(22)
(23)
После дифференцирования, получим:
(24)
или (25)
Вывод:скорость распространения волны естьскорость перемещения фазы волны, поэтому ее называютфазовой скоростьюи обозначают::
Т.к., отсюда (26)
-
Дисперсиейназывается зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространение волн(дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой)
7. Групповая скорость
Рассмотрим простейшую группу волн, которая получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и близкими волновыми числами:
(27)
Это волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты от времени, т.е. является негармонической.
(28)
|
- амплитуда группы волн
|
Групповая скорость – скорость распространения группы волн,
Групповая скорость – скорость максимума огибающей группы волн илискорость движения центра волнового пакета.
Из условия (29)
получим: (30)
(31)
|
- групповая скорость
|
Связь групповой и фазовой скорости.
Групповая скорость определяется выражением:
(32)
Определим отдельно выражения для и:
1) - ?
Из выражения выразим угловую скорость:(33)
Продифференцируем это выражение по k:(34)
2) - ?
Выражения продифференцируем по:
или (35)
Подставим выражения (34) и (35) в выражение для групповой скорости (32), получим:
(36)
(37)
(38)
|
- связь фазовой и групповой скорости
|
Из (38) следует, что может быть как больше, так и меньше фазовой в зависимости от знака.
Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то , тогда фазовая и групповая скорости совпадают.
Понятие групповой скорости очень значимо, т.к. именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации, в управлении космическими объектами.
Но , а дляограничений нет.
Нахождение групповой скорости методом Эренфеста
Зависимость групповой скорости от длины волныпозволяет определить значение групповой скорости.
Для этого нужно провести касательную к точке с координатами и. Можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости.
Уравнение сферической волны
Сферические волны– это волны, для которых волновые поверхности – есть совокупность концентрических колец.
Лучинаправлены вдоль радиусов сфер от центра источника волны.
(39)
В случае сферической волны, даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону .r– расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.
Вывод уравнения стоячей волны.
Рассмотрим две волны с одинаковыми амплитудами и частотами, которые распространяются навстречу друг другу:
Уравнение первой волны:
(40)
(41)
При наложении двух волн друг на друга:
(42)
(43)
(44)
|
- уравнение стоячей волны
|
|
- амплитуда стоячей волны
|
Координаты узлов и пучностей.
Пучности– точки, в которых амплитуда стоячей волны максимальна:
|
- координата пучности
|
Узлы стоячей волны– точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю:
|
- координата узлов
|
Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рисунке.Здесь же отмечены координаты х0,, х1, х2 , ...узлов и координатых'0,х'1,х'2 ...пучностей стоячей волны.