Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по механическим колебаниям.doc
Скачиваний:
66
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.31 Mб
Скачать

Лекция 4: Механические колебания

План:

  1. Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы:

  • математический и пружинный маятник;

  • физический маятник.

  1. Метод векторных диаграмм.

  2. Сложение колебаний одного направления.

  1. Представление колебаний в комплексном виде.

  1. Фазовый портрет колебательной системе:

  • кинетическая энергия;

  • потенциальная энергия;

  • полная энергия;

  • графическое представление энергии.

  1. Затухающие колебания с вязким трением:

  • вывод уравнения затухающих гармонических колебаний в диссипативных системах с вязким трением;

  • решение дифференциального уравнения второго порядка для затухающих гармонических колебаний;

  • время релаксации (затухания) и коэффициент затухания;

  • логарифмический декремент затухания;

  • добротность

  1. Вынужденные колебания под действием гармонической силы.

  • вывод уравнения вынужденных колебаний;

  • решение уравнения вынужденных колебаний;

  • механический резонанс.

  1. Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы:

  • математический и пружинный маятник;

Примером систем с одной степенью свободы являются математический и пружинный маятники.

Математический маятник

Пружинный маятник

Движения М.М. и П.М. описываются с помощью II закона Ньютона:

М.М. движется под действием результирующей силы, равной векторной сумме силы тяжести и силы натяжения нити:

()

,

при малых углах , тогда

, при малых углах , тогда:

Т.к. ускорение – вторая производная координаты по времени: , то

или

(1)

Отношение называют собственной частотой колебательной системы (М.М.) и обозначают . Т.е.

(2)

Окончательно:

(3)

- дифференциальное уравнение гармонических колебаний второго порядка

Т.к. период колебаний равен , , то

(4)

(чем > l, тем > T)

Решениями диф. Уравнения (3) являются такие гармонические функции x (t), первая и вторая производная которых при подстановке в диф. уравнение разрешает его.

Эти гармонические функции имеют вид:

(5)

(6)

Продифференцируем уравнение по времени и найдем уравнение скорости и ускорения мат. точки:

(7)

По формулам приведения:

(8)

(9)

Где амплитудное значение скорости равна:

(10)

(11)

По формулам приведения:

(12)

(13)

Где амплитудное значение ускорения равна:

(14)

П.М. движется под действием упругой силы ()

Т.к. ускорение – вторая производная координаты по времени: , то

(15)

(16)

Отношение называют собственной частотой колебательной системы (М.М.) и обозначают . Т.е.

(17)

Окончательно:

(18)

- дифференциальное уравнение гармонических колебаний второго порядка

Т.к. период колебаний равен , , то

(19)

(чем >ml, тем > T)

Решениями диф. Уравнения (18) являются такие гармонические функции x (t), первая и вторая производная которых при подстановке в диф. уравнение разрешает его.

Эти гармонические функции имеют вид:

(20)

(21)

Продифференцируем уравнение по времени и найдем уравнение скорости и ускорения мат. точки:

(22)

По формулам приведения:

(23)

(24)

Где амплитудное значение скорости равна:

(25)

(26)

По формулам приведения:

(27)

(28)

Где амплитудное значение ускорения равна:

(29)

  • физический маятник.

Другим примером маятника является физический маятник, представляющий собой тело произвольной формы, закрепленное на горизонтальной оси.

При отклонении Ф.М. на угол он будет совершать свободные гармонические колебания под действием силы тяжести, приложенной к центру масс.

Проекции силы тяжести на оси равны: ; .

Проекция и сила натяжения нити компенсируют друг друга. А сила, заставляющая Ф.М. совершать колебания является

Согласно закону динамики вращательного движения, на Ф.М. действует момент силы М относительно оси Z:

(30)

где I – момент инерции Ф.М., - угловое ускорение

М – момент силы тяжести

Тогда уравнение динамики примет вид:

(31)

При малых углах . Разделим обе части на I, получим:

(32)

Отношение называют собственной частотой колебательной системы (Ф.М.) и обозначают . Т.е.

(33)

Окончательно получаем:

(34)

- дифференциальное уравнение второго порядка для Ф.М.

Т.к. период колебаний равен , , то

(35)

Решениями диф. Уравнения (34) являются такие гармонические функции (t), первая и вторая производная которых при подстановке в диф. уравнение разрешает его.

Эти гармонические функции имеют вид:

(34)

(35)