Филиал 3 курс 5 семестр

Лекция 5: Механические волны

План:

1. Длина волны и волновое число.

2. Вывод уравнения плоской бегущей волны.

3. Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.

4. Разность фаз колебаний.

5. Виды волн.

6. Фазовая и скорость.

7. Групповая скорость.

8. Связь фазовой и групповой скорости.

9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста.

10. Уравнение сферической волны.

11. Вывод уравнения стоячей волны.

12. Координаты узлов и пучностей.

13. Энергия волн.

________________________________________________________________

1. Длина волны и волновое число

Длиной волны – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:

(1)

(2)

Если период равен , (3)

то (4)

Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:

получим(5)

Или (6)

Физический смысл отношения заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается вединицах длины. Отношениеобозначается и называется волновым числом, т.е.

(7)

Например:

2. Вывод уравнения плоской бегущей волны

Бегущие волны– волны, которые переносят в пространстве энергию.

Плоские волны– волны, волновые поверхности которых – есть совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Лучив этом случае – параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны.

Пусть плоская бегущая волна распространяется вдоль оси X, т.е. вдоль одного направления из точки А в точку В как показано на рисунке:

Пусть источник колебаний в начальный момент временинаходится в точке О.

Запишем уравнение колебания:

(8)

Рассмотрим распространение волны от точки М до точки В. Из рисунка видно, что время , затраченное на этот путь равно, где- это время, за которое волна распространилась от источника колебаний до точки М.

Перейдем от уравнения колебаний к уравнению плоской бегущей волны:

(9)

(10)

Т.к. за время волна распространилась на расстояние, тогда

(11)

(12)

(13)

Будем считать начальную фазу .

Тогда согласно уравнению (6), получаем: (14)

Если в уравнении (14) , а, то получимчетвертый видуравнения плоской бегущей волны (при):

	- первый вид уравнения плоской бегущей волны
	- второй вид уравнения плоской бегущей волны
	- третий вид уравнения плоской бегущей волны
	- четвертый вид уравнения плоской бегущей волны

- смещение точек среды с координатойxв момент времениt.

3. Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.

Уравнение плоской бегущей волны можно представить в комплексном виде, используя формулу Эйлера:

(15)

Если , то

(16)

Т.к. физический смысл имеет только реальная часть, получаем:

, (17)

Получаем уравнение плоской бегущей волны комплексном виде:

(18)

- уравнения плоской бегущей волны в комплексном виде

4. Разность фаз колебаний

Фаза рассчитывается из определения углового перемещения:

(19)

(20)

(21)

5. Виды волн

Основное свойство всех волн– перенос частицами среды энергии без переноса вещества.

Различают продольные и поперечные волны.

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль их распространения, называются продольными.

Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называются поперечными.

Продольные волны распространяются в жидкостях и газах

В твердой средевозникают как продольные, так и поперечные

6. Фазовая скорость

Пусть в волновом процессе фаза = const, т.е.

(22)

(23)

После дифференцирования, получим:

(24)

или (25)

Вывод:скорость распространения волны естьскорость перемещения фазы волны, поэтому ее называютфазовой скоростьюи обозначают::

Т.к., отсюда (26)

Дисперсиейназывается зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространение волн(дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой)

7. Групповая скорость

Рассмотрим простейшую группу волн, которая получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и близкими волновыми числами:

(27)

Это волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты от времени, т.е. является негармонической.

(28)

- амплитуда группы волн

Групповая скорость – скорость распространения группы волн,

Групповая скорость – скорость максимума огибающей группы волн илискорость движения центра волнового пакета.

Из условия (29)

получим: (30)

(31)

- групповая скорость

8. Связь групповой и фазовой скорости.

Групповая скорость определяется выражением:

(32)

Определим отдельно выражения для и:

1) - ?

Из выражения выразим угловую скорость:(33)

Продифференцируем это выражение по k:(34)

2) - ?

Выражения продифференцируем по:

или (35)

Подставим выражения (34) и (35) в выражение для групповой скорости (32), получим:

(36)

(37)

(38)

- связь фазовой и групповой скорости

Из (38) следует, что может быть как больше, так и меньше фазовой в зависимости от знака.

Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то , тогда фазовая и групповая скорости совпадают.

Понятие групповой скорости очень значимо, т.к. именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации, в управлении космическими объектами.

Но , а дляограничений нет.

8. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста

Зависимость групповой скорости от длины волныпозволяет определить значение групповой скорости.

Для этого нужно провести касательную к точке с координатами и. Можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости.

8. Уравнение сферической волны

Сферические волны– это волны, для которых волновые поверхности – есть совокупность концентрических колец.

Лучинаправлены вдоль радиусов сфер от центра источника волны.

(39)

В случае сферической волны, даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону .r– расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

8. Вывод уравнения стоячей волны.

Рассмотрим две волны с одинаковыми амплитудами и частотами, которые распространяются навстречу друг другу:

Уравнение первой волны:

(40)

(41)

При наложении двух волн друг на друга:

(42)

(43)

(44)

	- уравнение стоячей волны
	- амплитуда стоячей волны

8. Координаты узлов и пучностей.

Пучности– точки, в которых амплитуда стоячей волны максимальна:

- координата пучности

Узлы стоячей волны– точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю:

- координата узлов

Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рисунке.Здесь же отмечены коор­динаты х₀,, х₁, х₂ , ...узлов и координатых'₀,х'₁,х'₂ ...пуч­ностей стоячей волны.