1.2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
Импульс (количество движения) материальной точки
Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)
=m = .
Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки
.
Сила трения скольжения
Fтр = f N,
гдеf - коэффициент трения скольжения; N- сила нормального давления.
Сила трения качения
Fтр = ,
гдеfk - коэффициент трения качения; г - радиус катящегося тела.
Закон сохранения импульса для замкнутой системы
где n - число материальных точек (или тел), входящих в систему.
1 .З. Работа и энергия
Работа, совершаемая постоянной силой,
,
где Fs - проекция силы на направление перемещения;
- угол между направлениями силы и перемещения.
Работа, совершаемая переменной силой, на пути s
А= .
Средняя мощность за промежуток времени
Мгновенная мощность
или .
Кинетическая энергия движущегося со скоростью v тела массой m
T= .
Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией тела
или
- единичные векторы координатных осей.
Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью земли на высоту h,
П =mgh,
гдеg - ускорение свободного падения.
Сила упругости
F=-kx
где х - деформация; к- коэффициент упругости.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
.
Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)
Т + П = Е =.соnst.
Коэффициент восстановления
где и -соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.
Скорости тел массами m1и m2 после их абсолютно упругого центрального удара
,
,
где v1 и v2 - скорости этих тел до удара.
Скорость тел массами m1 и m2, движущихся соответственно со скоростями v1 и v2, после абсолютно неупругого центрального удара
.
1.4.Механика твердого тела
Момент инерции материальной точки
,
где m-масса точки; r-расстояние до оси вращения.
Момент инерции системы (тела)
,
где rі - расстояние материальной точки массой m і до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс
.
Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m масса тела):
Тело |
Положение оси вращения |
Момент инерции
|
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R
|
Ось симметрии |
mR2
|
Сплошной цилиндр или диск радиусом R
|
То же |
|
Прямой тонкий cтержень длиной |
Ось перпендикулярна cтержню и проходит через его середину |
|
То же |
Ось перпендикулярна и проходит через его конец
|
|
Шар радиусом R |
Ось проходит через центр шара |
|
Теорема Штейнера
,
где Jс- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J — момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m —мас-са тела.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной осиz,
,
где Jz — момент инерции тела относительно оси; -его угловая скорость.
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости бёз скольжения,
T= ,
где m- масса тела;vc — скорость центра масс тела; Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; — угловая скорость тела.
Момент силы относительно неподвижной точки
,
где — радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы . Модуль момента силы
М=F ,
где — плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).
Работа при вращении тела
А=Мz d ,
где d — угол поворота тела; Мz — момент силы относительно оси z.
Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси
вращения
,
где rі - расстояние от оси z отдельной частицы тела ; mі vі –импульс этой частицы; Jz –мо-
мент инерции тела относительно оси z ; -его угловая скорость.
Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
,
ε— угловое ускорение; Jz — момент инерции тела относительно оси z.
Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы
.
Напряжение при упругой деформации тела
,
где F - растягивающая (сжимающая) сила; S—площадь поперечного сечения тела.
Относительное продольное растяжение (сжатие)
,
где — изменение длины тела при растяжении (сжатии)
—длина тела до деформации.
Относительное поперечное растяжение (сжатие)
где — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);d— диаметр стержня.
Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)
где Е-модуль Юнга.
Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) тела
,
где V-объем тела.
1.5. Элементы специальной (частной) теории относительности
Преобразования Лоренца
x' = , у'=у, z'=z‚ ,
где предполагается, что система отсчета К' движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы отсчета К, причем оси х' и х совпадают, а оси у' и у, z' и z, параллельны; с — скорость распространения света в вакууме.
Релятивистское замедление хода часов
' =
Где -промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; '- промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.
Релятивистское (лоренцево) сокращение длины
,
l0— длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); l— длина стержня, измеренная в системе отсчета относительно которой он движётся со скоростью v.
Релятивистский закон сложения скоростей
, , ,
где предполагается, что система отсчета К' движется со скоростью v в положительном направлении оси х системы отсчета К, причем оси х' и х совпадают, оси у' и у,z' и z параллельны.
Интервал S12 между событиями (инвариантная величина)
где t12 — промежуток времени между событиями 1 и 2;
l12— расстояние между точками, где произошли события.
Релятивистский импульс частицы
,
где m — масса частицы.
Основной закон релятивистской динамики
,
где релятивистский импульс.
Полная и кинетическая энергия релятивистской частицы
; Т=Е-Е0 ,
где Е 0 — энергия покоя (m масса частицы; с — скорость распространения света в вакууме).
Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
Е2 = m2с4 + р2с 2 , pc= .