МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Методические указания и задания
к лабораторным работам по курсам
“ДИСКРЕТНЫЕ СТРУКТУРЫ“,
“ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ“
Донецк - 2009
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Методические указания и задания
к лабораторным работам
по курсам “Дискретные структуры”,
“ Теория алгоритмов и вычислительных процессов “
( для студентов специальностей
7.050102 “Программное обеспечение автоматизированных систем”,
7.080407 “Компьютерный эколого-экономический мониторинг ”)
Утверждено на заседании кафедры
прикладной математики и информатики
протокол № 14 от 29.06.09.
Донецк - 2009
УДК 681.3.07
Методические указания и задания к лабораторным работам по курсам “Дискретные структуры“, “Теория алгоритмов и вычислительных процессов“ (для студентов специальностей 7.050102 “Программное обеспечение автоматизированных систем”, 7.080407 “Компьютерный эколого-экономический мониторинг ”) / разраб.: Назарова И.А., Коломойцева И.А. – Донецк: ДонНТУ, 2009 – 35с.
Изложенные теоретические основы, методические рекомендации, контрольные вопросы и задания для выполнения лабораторных работ по следующим разделам курса теории алгоритмов и вычислительных процессов:
-
теория рекурсивных функций;
-
машины Тьюринга;
-
композиция машин Тьюринга;
-
нормальные алгоритмы Маркова.
Составители: Назарова И.А., доцент
Коломойцева И.А., ст. преп.
Рецензент: Теплинский С.В., к.т. н., доц.
Лабораторная работа №1
Рекурсивные функции
Цель работы: получить практические навыки в записи алгоритмов с использованием аппарата рекурсивных функций.
Теоретическая справка
Вычислимые функции – числовые функции, значения которых можно вычислять посредством единого для данной функции алгоритма.
Арифметические функции – функции, области определения и значений которых целые неотрицательные числа, то есть натуральный ряд + число ноль.
Частичные арифметические функции – арифметические функции с ограниченной областью определения, остальные – всюду определенными.
Примитивно-рекурсивные функции
В качестве простейших функций в теории рекурсивных функций приняты следующие:
1.
–
константа «ноль».
2.
– « последователь ».
3.
– функция тождества или выбора аргумента,
проекция.
Оператор
суперпозиции (подстановки)
–
подстановка в функцию от
переменных
функций от
переменных, что дает новую функцию от
переменных.
Суперпозицией
функций
и
называют функцию:
;
.
Оператор
примитивной рекурсии
,
определяющий значение функции 
,
записывается в виде следующей схемы:
Примитивно-рекурсивная функция – арифметическая функция, которая может быть получена из простейших с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.
Примитивно-рекурсивные функции являются всюду определенными.
Пример
1. Константа
a
получается
путем суперпозиции функций
и
:
Пример
2. Операция
сложения
может быть определена с помощью оператора
примитивной рекурсии:
Таким
образом, функция
получена из простейших
и
путем применения оператора примитивной
рекурсии, что соответствует определению
примитивно-рекурсивной функции.
Пример
3. Примитивная
рекурсивность операции умножения
доказывается с
использованием сложения:
Пример
4. Примитивная
рекурсивность операции возведения в
степень
доказывается
следующим образом:
Пример
5. Операция
вычитания не является примитивно-рекурсивной,
т.к. она не всюду определена: результат
операции a-b
при
не определен в области натуральных
чисел. Однако примитивно-рекурсивной
является так называемое арифметическое
(усеченное) вычитание или разность.
Арифметическое вычитание:
Для
доказательства примитивной рекурсивности
вначале рассмотрим операцию
:
;
т.е.
операция
– примитивно-рекурсивна.
Дополнительное свойство:
.
арифметическое вычитание – примитивно-рекурсивно.
Пример
6. Функция
– аналог функции
для
натуральных чисел.
Функция
примитивно-рекурсивна:
– антисигнум,
функция обратная
.
.
Пример
7. Примитивная
рекурсивность функций
,
и модуль
двух
чисел доказывается
с помощью арифметического вычитания:
Отношение
называется примитивно-рекурсивным,
если примитивно-рекурсивна его
характеристическая функция
:
Пример
8.
Отношение
– примитивно-рекурсивно.
Действительно,
.
Отношение
примитивно-рекурсивно.
Действительно,
.
Отношение
примитивно-рекурсивно.
Действительно,
.
Оператор
минимизации (-оператор,
оператор наименьшего корня)
определяет новую арифметическую функцию
от n
переменных
с помощью ранее построенной арифметической
функции
от n+1
переменных.
Пусть существует некоторый механизм
вычисления функции
,
причем значение функции
неопределенно, если этот механизм
работает бесконечно, не выдавая никакого
определенного значения.
Зафиксируем
набор значений аргументов
и рассмотрим уравнение относительно
y:
;
чтобы найти решение этого уравнения,
натуральное
,
будем вычислять последовательность
значений:
для
..
Наименьшее
целое неотрицательное значение
,
удовлетворяющее этому уравнению:
обозначим:
.
Говорят,
что функция
получена из функции
операцией
минимизации,
если:
.
Оператор минимизации работает бесконечно в одном из следующих случаев:
1)
значение
не определено;
2)
значение
для
определены, но не равны нулю, а значение
– не определено;
3)
значение
определены для всех
,
но не равны нулю.
Оператор минимизации является удобным средством получения обратных функций: вычитание, деление, извлечение корня и так далее.
Пример 9. Определение операции «вычитание»:
.
Пример 10. Определение операции «деление»:
.
Пример 11. Определение операции « извлечение корня »:
.
Пример 21. Определение операции « логарифм »:
Пример 13. Процесс вычисления функции с помощью оператора минимизации приведен ниже:
Частично-рекурсивная функция – функция, которая может быть построена из простейших с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.
Частично-рекурсивная функция является не всюду определенной, причем там, где она не определена, процесс ее вычисления продолжается бесконечно.
Общерекурсивная функция – всюду определенная частично-рекурсивная функция.
Связь между алгоритмами и рекурсивными функциями выражается тезисом Черча: какова бы ни была вычислимая неотрицательная целочисленная функция от неотрицательных целочисленных аргументов, существует тождественно равная ей частично-рекурсивная функция.