4.3 Устойчивость цифровых фильтров

Дискретная цепь считается неустойчивой, если ограниченное по амплитуде входное воздействие вызывает на её выходе бесконечно нарастающий отклик. И наоборот, цепь устойчива, когда её отклик на ограниченное воздействие также ограничен по амплитуде.

Известно, что у аналоговой устойчивой цепи полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости переменной р. При переходе от аналоговой цепи к дискретной и замене преобразования Лапласа Z-преобразованием точки левой полуплоскости р-плоскости переходят в точки, лежащие внутри единичной окружностиZ-плоскости. Заметим, что нерекурсивные цифровые фильтры всегда устойчивы, поэтому в проверке на устойчивость нуждаются лишь рекурсивные цепи.

Определим устойчивость цепи, имеющей передаточную функцию вида (4.4):

Полюс передаточной функции найдем, приравняв к нулю знаменатель H(z):

Полюс находится внутри единичной окружности Z-плоскости. Это означает, что цепь устойчива.