2 Спектральный метод анализа цепи

2.1 Определение комплексной передаточной функции цепи

Найдём передаточную функцию цепи по известной импульсной характеристике h(t):

(2.1)

Рассчитаем переходную характеристику непосредственно по схеме (символическим методом):

Тогда амплитудно-частотная характеристика цепи:

(2.2)

График АЧХ изображён на рисунке 2.1 .

Фазочастотная характеристика цепи:

(2.3)

График ФЧХ изображён на рисунке 2.2 .

Рисунок 2.1 – График амплитудно-частотной характеристики

Рисунок 2.2 – График фазочастотной характеристики

Таблица 2.1 – Значения амплитудно-частотной характеристики и фазочастотной характеристики цепи при заданных значениях частоты

2.2 Расчёт спектральных плотностей входного и выходного сигнала

Если на вход некоторой электрической цепи (рисунок 1) с известной передаточной функцией H(j) подано воздействиеU1(t), то, зная спектральную плотность воздействияU1(j), можно найти спектральную плотность выходного сигналаU2(j):

(2.4)

Для расчета U1(j) сигналаU1(t) можно воспользоваться преобразованиями Фурье – прямым и обратным (соответственно (2.5) и (2.6)):

(2.5)

(2.6)

Функцию F(j) называют комплексной спектральной плотностью функцииf(t). Её можно записать в виде:

, где спектральная плотность амплитуд,

спектральная плотность фаз.

Для определения спектральной плотности сигнала нужно воспользоваться прямым преобразованием Фурье (2.5) и воспользуемся соотношением:

(2.7)

Возьмем интегралы и получим:

После взятия интегралов получаем выражения для спектральной плотности амплитуд и фаз:

(2.8)

(2.9)

U1(j) можно также найти с помощью преобразования Лапласа. СигналU1(t) представляют в виде суммы простейших ступенчатых и линейно-изменяющихся функций, образующихU1(t) с учетом запаздывания этих сигналов по времени. Сигнал изображенный на рисунке 1 можно представить в виде суммы четырех функций:

Графики этих функций изображены на рисунке 2.3 .

Рисунок 2.3 – Графики функций, образующих воздействие U1(t)

Изображение входного сигнала U1(t) запишется, как сумма изображений простейших функций, представленных на рисунке 2.3:

Делая преобразования,и затем подставляя числовые значения, получаем спектральную плотность входного сигнала, спектральные плотности амплитуд и фаз которого такие же, как и выражения (2.8) , (2.9):

(2.10)

Для определения спектральных характеристик выходного сигнала воспользуемся выражениями:

Выражения для спектральных плотностей амплитуд и фаз выходного сигнала:

(2.11)

(2.12)

Графики амплитудных спектров входного и выходного сигналов представлены на рисунках 2.4, 2.6, а графики фазовых спектров входного и выходного сигналов представлены на рисунках 2.5, 2.7.

Рисунок 2.4 – График амплитудного спектра входного сигнала

Рисунок 2.5 – График фазового спектра входного сигнала

Рисунок 2.6 – График амплитудного спектра выходного сигнала

Рисунок 2.7 – График фазового спектра выходного сигнала

Таблица 2.2 – Значения амплитудных и фазовых спектров входного сигнала на заданных частотах 

Таблица 2.3 – Значения амплитудных и фазовых спектров выходного сигнала на заданных частотах 