Афчх типовых элементов исау

N п/п	Частотная функция	АФЧХ
1
= 2
0 j R  -1/2 =0 = 3
4
5

6.7.2. Частотные критерии устойчивости.

Критерий устойчивости Михайлова

Указанный критерий, справедливый для непрерывных САУ, был предложен Я.З. Цыпкиным для определения устойчивости ИСАУ в 1948 г.

Пусть имеется характеристическое уравнение системы

(6.86)

которое можно представить в виде

(6.87)

где – корни характеристического уравнения.

В соответствии с необходимым и достаточным условием устойчивости все корни должны быть по абсолютной величине меньше единицы.

Результирующий угол поворота вектора  при изменении  от – до + будет равен сумме углов поворота отдельных векторов – сомножителей , где . Для устойчивой системы все корни должны располагаться внутри круга единичного радиуса, описываемого концом вектора при изменении  от – до + , рис. 6.18 а. Все корни или часть корней неустойчивой системы расположены за пределами единичного круга, рис. 6.18 б.

Рассмотрим оба указанных случая.

1. Пусть , рис. 6.18 а. При изменении  в пределах от – до + конец вектора описывает окружность единичного радиуса. Конец вектора находится внутри этого круга. Поэтому угол поворота суммарного вектора равен 2. Следовательно, каждый корень характеристического уравнения, находящийся внутри единичного круга, обеспечивает приращение суммарному вектору , равное 2. Поэтому общий угол поворота равен , где m - количество корней внутри единичного круга.

2. Пусть , рис. 6.18 б. Конец вектора находится за пределами круга. При изменении  в пределах от – до + суммарный вектор повернется на одинаковые углы в положительном и отрицательном направлении, а результирующий угол поворота будет равен 0. Следовательно, корни , расположенные вне единичного круга, не будут давать приращения к углу поворота вектора и общий угол поворота его будет меньше, чем .

Критерий устойчивости в связи с изложенным определится следующим образом:

Для устойчивости замкнутой ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы вектор при изменении  от – до +, монотонно возрастая и не обращаясь в нуль, вращался против часовой стрелки, при этом результирующий угол поворота вектора должен равняться , где m – степень полинома характеристического уравнения или чтобы кривая Михайлова, начинаясь с положительной полуоси вещественных корней, обошла в положительном направлении последовательно квадрантов комплексной плоскости.

Рассмотрим алгоритм построения кривой Михайлова.

Выделим действительные и мнимые части с использованием формулы

(6.88)

что дает

(6.89)

где

Задаваясь значениями  от – до +, вычисляют значения и .

По точкам в прямоугольной системе координат строят всю кривую Михайлова. На рис. 6.19 изображена кривая Михайлова для устойчивой системы 3-го порядка.

Критерий устойчивости Найквиста

С помощью аналога критерия Найквиста можно исследовать устойчивость замкнутой ИСАУ на основе анализа дискретной передаточной функции разомкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой ИСАУ с единичной обратной связью может быть записана следующим образом:

, (6.90)

где .

Рассмотрим знаменатель передаточной функции

или (6.91)

Числитель выражения (6.91) является характеристическим уравнением замкнутой системы, а знаменатель – разомкнутой, поэтому можно записать:

Известно, что замкнутая ИСУ будет устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса.

В показательной форме выражение имеет вид

Из этого выражения следует, что аргумент функции замкнутой системы равен

или

где – угол поворота вектора, соответствующего произведению

, где – соответствует нулю функции ;

– угол поворота вектора, соответствующего произведению , где – полюса функции .

Исходя из критерия Михайлова, для устойчивости разомкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы , а для устойчивости замкнутой , т.е. в этом случае .

То есть, если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы аргумент функции .

Из выражения (6.91) следует связь между функцией и передаточной функцией разомкнутой системы , которая может быть записана в частотной форме

. (6.92)

Отсюда следует, что вещественная часть функции отличается от вещественной части частотной функции разомкнутой системы на единицу, а мнимые части их равны.

Таким образом, годографом вектора функции будет АФЧХ разомкнутой системы, полюс которой смещен вдоль вещественной оси на единицу.

Условие устойчивости замкнутой системы будет выполняться, если АФЧХ устойчивой разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами , рис. 6.20.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой ИСАУ не охватывала точку с координатами .

Запас устойчивости по амплитуде определяется как отношение, рис. 6.20:

, (6.93)

а запас устойчивости по фазе – как отношение угла до 180.

, где – угол от оси по часовой стрелке до точки пересечения годографа c единичным радиусом.

Границе устойчивости соответствует прохождение АФЧХ разомкнутой ИСАУ через точку .

Для неустойчивой разомкнутой ИСАУ условие устойчивости замкнутой САУ по Найквисту будет звучать следующим образом:

Если разомкнутая ИСАУ неустойчива, то для того, чтобы замкнутая ИСАУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора разомкнутой ИСАУ охватывал точку с координатами .