Глава 7. Оптимальные системы автоматического управления

7.1. Критерии оптимальности

Часто полученная САУ не выполняет поставленные задачи с наилучшим результатом.

Система, которая обеспечивает наилучшие показатели качества при заданных реальных условиях работы и ограничениях, называется оптимальной. Например, система может с максимальным быстродействием обеспечить переход ПЛ по глубине и курсу, с наименьшей ошибкой обеспечивать стабилизацию ПЛ по дифференту и крену или с максимальной скоростью обеспечить набор мощности АЭУ и т.д. при заданных внешних воздействиях и ограничениях, накладываемых на исполнительные органы и параметры движения объекта управления.

При оптимизации САУ в каждом отдельном случае должен быть правильно выбран критерий оптимальности, выраженный в математической форме. Критерий оптимальности является функционалом. Функционалы, как правило, составляют так, чтобы условием оптимальности системы как в случае минимума, так и в случае максимума требуемого показателя качества системы был именно минимум этого функционала, а не максимум.

Например, при обеспечении максимального быстродействия функционал должен быть составлен из условия обеспечения минимального времени перехода.

В общем случае функционал зависит от координат выходного сигнала , управления и возмущающих воздействий и может быть представлен в виде интеграла

(7.1)

или в матричной форме

, (7.2)

где X, U, Z – матрицы координат выходного сигнала, управления и возмущений соответственно;

– интервал времени.

Критерий оптимальности часто задается в виде интегрального квадратичного функционала от нескольких функций

, (7.3)

или

, (7.4)

где и – весовые коэффициенты и параметры, характеризующие объект управления; – время.

Функционал, минимум которого необходимо найти, может представлять собой любую желаемую комбинацию различных качеств проектируемой САУ. Выбор критерия оптимальности является творческой инженерной задачей, которая может быть решена на основе всестороннего изучения объектов управления.

Трудность выбора критерия оптимальности объясняется тем, что требования, предъявляемые к работе САУ, часто оказываются противоречивыми. Например, высокоточные САУ имеют ограниченное быстродействие, а быстродействующие – ограниченную точность.

Кроме того, сложность решения задачи зависит от сложности принятого критерия. Если показатель качества соответствует большому количеству требований к САУ, то синтез ее возможен лишь численными методами для какой-либо частной задачи. Для нахождения решения в явной форме должны быть использованы простые показатели качества, которые не отразят многих требований.

Рассмотрим некоторые типы критериев оптимальности в зависимости от их принадлежности к переходному или установившемуся режимам работы. Для достижения максимальной точности работы САУ в установившемся режиме можно пользоваться критерием минимальной ошибки, который определяется интегралом

(7.5)

где – отклонения управляемого параметра от заданного значения или ошибка регулирования; – рассматриваемый интервал времени.

Минимизация функционала физически означает ограничение суммарной ошибки отклонения выходной координаты САУ и длительности ее существования.

Для обеспечения максимальной точности работы в динамическом режиме при влиянии конкретных возмущений критерий оптимальности может выражаться интегралом

, (7.6)

где – импульсная переходная функция.

Если функционал (7.6) равен нулю, то обеспечивается инвариантность САУ к возмущающим воздействиям.

Для достижения максимального быстродействия САУ можно воспользоваться критерием минимальности времени переходного процесса при заданных ограничениях на координаты:

. (7.7)

Теория оптимальных по быстродействию систем в настоящее время разработана наиболее полно. Результаты ее можно распространить и на другие критерии оптимальности.

Создание оптимальной САУ по условиям инвариантности координаты к функции внешнего воздействия можно осуществить, минимизируя функционал, называемый критерием инвариантности, в виде

(7.8)

При наличии многомерного объекта управления для обеспечения независимости координат и друг от друга используется критерий автономности, который характеризует соответствующие взаимные корреляционные функции:

. (7.9)

Последние две оптимальные системы реализуются при равенстве нулю функционалов (7.8) и (7.9).

При оптимизации САУ по какому-либо параметру качества необходимо учитывать реальные ограничения других свойств системы в виде заданной мощности исполнительных приводов, заданных ограничений параметров движения объекта управления, заданных ограничений перемещения исполнительных органов и т.д.

Оптимизация САУ может выполняться двумя способами. В первом случае известна структура системы, на основании которой находят оптимальные значения ее параметров, обеспечивающих оптимальное значение заданного показателя качества.

Во втором случае структура САУ неизвестна и ее требуется найти, а также и параметры, чтобы система была оптимальна для принятого критерия качества.

В большинстве случаев на практике задан объект управления. Задача синтеза сводится к определению структуры и параметров оптимальной САУ.