6.7. Частотные критерии устойчивости
Кроме алгебраических, широкое распространение получили частотные критерии устойчивости ИСАУ, аналоги критериев Михайлова и Найквиста. Для правильного их использования рассмотрим принципы построения частотных характеристик ИСАУ.
6.7.1. Частотные характеристики импульсных САУ. Понятия о частотных характеристиках импульсных и непрерывных систем очень близки, но особенность частотных характеристик ИСАУ состоит в том, что они устанавливают связи между решетчатыми функциями, соответствующими непрерывным гармоническим колебаниям.
Если на вход приведенной непрерывной части САУ подавать гармоническую решетчатую функцию
(6.80)
то после окончания переходного процесса решетчатая функция, соответствующая выходной величине системы, будет также представлять собой гармоническую функцию, но иной амплитуды и фазы
(6.81)
или в показательной форме изображения сигналов
;
(6.82)
.
(6.83)
Отношение
(6.84)
называется частотной дискретной передаточной функцией и является аналитическим выражением для построения АФЧХ импульсной САУ. Так как частотная функция – величина комплексная, она может быть записана в виде суммы вещественной или мнимой части или в показательной форме:
,
(6.85)
где
– модуль частотной функции;
– аргумент частотной функции.
Физический смысл модуля и аргумента частотной функции ИСАУ аналогичен непрерывной системе:
модуль равен отношению амплитуд гармонических решетчатых функций на выходе и входе импульсной системы в установившемся режиме;
аргумент равен сдвигу по фазе этих решетчатых функций.
C изменением частоты подаваемых на вход системы гармонических колебаний меняется амплитуда и фаза гармонических колебаний на выходе.
Кривая зависимости модуля частотной функции от частоты представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а кривая зависимости аргумента частотной функции от частоты – фазовую частотную характеристику системы (ФЧХ).
Свойства частотных характеристик
Свойство 1.
Частотные характеристики являются
периодическими функциями относительно
частоты с периодом повторения 2.
Следовательно, при построении частотных
характеристик импульсной системы
достаточно ограничиться участком
характеристики, соответствующим
изменению частоты
в диапазоне 2. Кроме
того, если принять во внимание, что
участки частотных характеристик в
диапазоне изменения частоты от –
до 0 и от 0 до +
симметричны, то можно ограничиться
построением характеристик в диапазоне
частот от 0 до .
Свойство периодичности частотных
характеристик можно объяснить физически.
Решетчатая функция, соответствующая
входному сигналу системы и имеющая
место на выходе импульсного элемента,
зависит только от значения этого сигнала
в дискретные моменты времени и не зависит
от его значений между ними. Поэтому
решетчатая функция, соответствующая
гармоническим колебаниям
и
,
частоты которой отличаются на
,
имеет один и тот же вид.
Свойство 2.
Амплитудно- фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы начинается и заканчивается на вещественной оси.
Свойство 3.
Частотная характеристика системы зависит не только от частоты , но и от смещения. Поэтому в отличие от непрерывных систем импульсные имеют множество частотных характеристик, соответствующих различным значениям смещения.
АФЧХ импульсной системы можно получить аналитически, если структурная схема представлена в виде последовательного или параллельного соединения ряда звеньев, для которых легко построить АФЧХ. Тогда результирующая АФЧХ импульсной системы получается, как результат графического сложения или умножения этих характеристик.
АФЧХ некоторых типовых элементов ИСАУ представлены в табл. 6.3.
Таблица 6.3